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数列经典例题(裂项相消法).doc

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数列裂项相消求和的典型题型1.已知等差数列 的前 n 项和为 则数列 的前 100 项和为 }{a,15,,5?San }1{?naA. B. C. D.100101 99101 99100 1011002.数列 其前 项之和为 则在平面直角坐标系中,直线 在 y 轴上的截距,??na, 01??nyx为 A.-10 B.-9 C.10 D.93.等比数列 的各项均为正数,且 .}{na 623219,aa??Ⅰ求数列 的通项公式;Ⅱ设 求数列 的前 项和.,loglogl 32313 nn aab??? }{nb4.正项数列 满足 .}{n 01??nnⅠ求数列 的通项公式 ;aaⅡ令 求数列 的前 项和 .,1nnb??}{nbnT5.设等差数列 的前 项和为 ,且 .}{anS12,42??naSⅠ求数列 的通项公式;nⅡ设数列 满足 求 的前 项和 .}{nb ,,21*21 Nnaban????? }{nbnT6.已知等差数列 满足 . 的前 项和为 .n 6,7753nanSⅠ求 及 ;naSⅡ令 求数列 的前 项和 .,1*2Nbn???}{nbnT7.在数列 中 .}{annaa21,??Ⅰ求 的通项公式;nⅡ令 求数列 的前 项和 ;,21nb???}{nbnS(Ⅲ)求数列 的前 项和 .}{nanT8.已知等差数列 的前 3 项和为 6,前 8 项和为﹣4.Ⅰ求数列 的通项公式;}{nⅡ设 求数列 的前 项和 .,,04*1Nnqab????}{nbnS9.已知数列 满足 且对 都有 .}{n21?*m?2112nmaanm??????Ⅰ求 ;53,Ⅱ设 证明 是等差数列;,*12Nabnn???? }{nb(Ⅲ)设 求数列 的前 项和 .,0 *qc?? ncnS10.已知数列 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 .}{n 16,57263??aaⅠ求数列 的通项公式;aⅡ数列 和数列 满足等式 求数列 的前 项和 .}{nnb ,22*31 Nnbban ????? }{nbnS11.已知等差数列 的公差为 2,前 项和为 ,且 成等比数列.anS41,S1求数列 的通项公式;n2令 求数列 的前 项和 .,4112???nab}{nbnT12.正项数列 的前 n 项和 满足 .}{S 0122?????nSn1求数列 的通项公式 ;n2令 数列 的前 n 项和为 ,证明对于 都有 .,21nab??}{bnT,*N??645?nT答案1.A;2.B3.解Ⅰ设数列{a n}的公比为 q,由 a329a2a6 有 a329a42,∴q 2 .由条件可知各项均为正数,故 q .由 2a13a21 有 2a13a1q1,∴a 1 .故数列{a n}的通项式为 an .(Ⅱ)b n ﹣(12 n)﹣ ,故 ﹣ ﹣2( ﹣ )则 ﹣2[(1﹣ )( ﹣ ) ( ﹣ )] ﹣ ,∴数列{ }的前 n 项和为﹣ .4.解Ⅰ由正项数列{a n}满足 ﹣(2n﹣1)a n﹣2n0,可有(a n﹣2n) (a n1)0∴a n2n.Ⅱ∵a n2n,b n ,∴b n ,Tn .数列{b n}的前 n 项和 Tn 为 .5.解Ⅰ设等差数列{a n}的首项为 a1,公差为 d,由 S44S2,a 2n2an1 有,解有 a11,d2.∴an2n﹣1,n∈N *.Ⅱ由已知 1﹣ ,n∈N *,有当 n1 时, ,当 n≥2 时, (1﹣ )﹣ (1 ﹣ ) ,∴,n1 时符合.∴ ,n∈N *由(Ⅰ)知,a n2n﹣1,n∈N *.∴bn ,n∈N *.又 Tn ,∴ Tn ,两式相减有 Tn ( )﹣ ﹣ ﹣∴Tn3﹣ .6.解Ⅰ设等差数列{a n}的公差为 d,∵a37, a5a726,∴有 ,解有 a13,d2,∴an32(n﹣1)2n1;Sn n22n;Ⅱ由Ⅰ知 an2n1,∴bn ,∴Tn ,即数列{b n}的前 n 项和 Tn .7.解Ⅰ由条件有 ,又 n1 时, ,故数列 构成首项为 1,公式为 的等比数列.∴ ,即 .Ⅱ由 有 , ,两式相减,有 ,∴ .(Ⅲ)由 有 .∴Tn2Sn2a1﹣2an1 .8.解Ⅰ设{a n}的公差为 d,由已知有解有 a13,d﹣ 1故 an3(n﹣1) (﹣1)4﹣ n;Ⅱ由Ⅰ的解答有,b nnqn﹣1,于是Sn1q02q13q2nqn﹣1.若 q≠1,将上式两边同乘以 q,有qSn1q12q23q3nqn.上面两式相减,有(q﹣1) Snnqn﹣(1qq 2qn﹣1)nq n﹣于是 Sn若 q1,则 Sn123n∴, Sn .9.解Ⅰ由题意,令 m2,n1,可有 a32a2﹣a126再令 m3,n1,可有 a52a3﹣a1820Ⅱ当 n∈N*时,由已知(以 n2 代替 m)可有 a2n3a2n﹣12a2n18于是[a 2(n1 )1 ﹣a2(n1)﹣1 ]﹣( a2n1﹣a2n﹣1)8即 bn1﹣bn8∴{bn}是公差为 8 的等差数列(Ⅲ)由Ⅰ Ⅱ解答可知{b n}是首项为 b1a3﹣a16,公差为 8 的等差数列则 bn8n﹣2,即 a2n1﹣a2n﹣18n﹣2另由已知(令 m1)可有an ﹣(n﹣ 1) 2.∴an1﹣an ﹣2n1 ﹣2n12n于是 cn2nqn﹣1.当 q1 时,S n2462nn(n1)当 q≠1 时,S n2q04q16q22nqn﹣1.两边同乘以 q,可有qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减,有(1﹣q) Sn2(1qq 2qn﹣1)﹣2nq n2 ﹣2nqn2∴Sn2综上所述,S n .10.解Ⅰ设等差数列{a n}的公差为 d,则依题意可知 d>0 由 a2a716,有,2a 17d16①由 a3a655,有 (a 12d) (a 15d)55②由①②联立方程求,有 d2,a 11/d﹣2,a 1 (排除)∴an1(n﹣1)22n ﹣1Ⅱ令 cn ,则有 anc1c2cnan1c1c2cn1两式相减,有an1﹣ancn1,由(1)有 a11,a n1﹣an2∴cn12,即 cn2(n≥ 2) ,即当 n≥2 时,bn2n1,又当 n1 时,b 12a12∴bn于是 Snb1b2b3bn223242n12n2﹣6,n≥2,.11.解 1因为 S1=a 1,S 2=2a 1+ 2=2a 1+2,212S4=4a 1+ 2=4a 1+12,432由题意得2a 1+2 2=a 14a1+12 ,解得 a1=1,所以 an=2n-1.2bn=-1 n-1 =- 1n-1 = -1 n-1 + .4nanan+ 1 4n2n- 12n+ 1 12n- 1 12n+ 1当 n为偶数时,Tn=1+ - + ++ + - + =1- = .13 13 15 12n- 3 12n- 1 12n- 1 12n+ 1 12n+ 1 2n2n+ 1当 n为奇数时,Tn=1+ - + +- + + + =1+ = .13 13 15 12n- 3 12n- 1 12n- 1 12n+ 1 12n+ 1 2n+ 22n+ 1所以 Tn=Error或 Tn= 2n+ 1+ - 1n- 12n+ 112.1解 由 S -n 2+n-1S n-n 2+n =0,2n得[S n-n 2+n]S n+1=0,由于{a n}是正项数列,所以 Sn+10.所以 Sn=n 2+nn∈N *.n≥2 时,a n=S n-S n-1 =2n,n=1 时,a 1=S 1=2 适合上式.∴an=2n n∈N *.2证明 由 an=2nn∈N *得 bn= = =n+ 1n+ 22a2n n+ 14n2n+ 22 116[1n2- 1n+ 22]Tn= ErrorError116= = n∈N *.116[1+ 122- 1n+ 12- 1n+ 22] 1161+ 122 564即对于任意的 n∈N *,都有 Tn .564
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