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数列经典试题(含答案).doc

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第 1 页 共 9 页强力推荐人教版数学高中必修 5 习题第二章 数列1.{a n}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于 .A.667 B.668 C.669 D.6702.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a 4+a 5= .A.33 B.72 C.84 D.1893.如果 a1,a 2,,a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则 . A.a 1a8>a 4a5 B.a 1a8<a 4a5 C.a 1+a 8<a 4+a 5 D.a 1a8=a 4a54.已知方程x 2-2x +mx 2-2x+n=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m-n|等于 .A.1 B. C. D. 4321835.等比数列{a n}中,a 2=9,a 5=243,则{a n}的前 4 项和为 .A.81 B.120 C.168 D.1926.若数列{a n}是等差数列,首项 a1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a2 004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数n 是 .A.4 005 B.4 006 C.4 007 D.4 008 7.已知等差数列{a n}的公差为 2,若 a1,a 3,a 4 成等比数列, 则 a2= .A.-4 B.- 6 C.-8 D. -108.设 Sn 是等差数列{a n}的前 n 项和,若 = ,则 = .35a959SA.1 B.- 1 C.2 D. 219.已知数列-1,a 1,a 2,-4 成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4 成等比数列,则 的值是 .21ba?A. B.- C.- 或 D.2 4110.在等差数列{a n}中,a n≠0,a n-1 - +a n+1 =0n≥2,若 S2n-1 =38,则 n= .2第 2 页 共 9 页A.38 B.20 C.10 D.9二、填空题11.设 fx= ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f-5+f -4++f021?x++f5+f6的值为 .12.已知等比数列{a n}中,1若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= .2若 a1+a 2=324,a 3+a 4=36,则 a5+a 6= .3若 S4=2,S 8=6,则 a17+a 18+a 19+a 20= .13.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 .714.在等差数列{a n}中,3a 3+a 5+2a 7+a 10+a 13=24,则此数列前 13 项之和为 .15.在等差数列{a n}中,a 5=3,a 6=-2,则 a4+a 5++a 10= .16.设平面内有 n 条直线n≥3,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 fn表示这n 条直线交点的个数,则 f4= ;当 n>4 时, fn= . 三、解答题17.1已知数列{a n}的前 n 项和 Sn=3n 2-2n,求证数列{a n}成等差数列.2已知 , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列.b1ccb?cba?第 3 页 共 9 页18.设{a n}是公比为 q?的等比数列,且 a1,a 3,a 2 成等差数列.1求 q 的值;2设{b n}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.19.数列{a n}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,a n+1 = Snn=1,2,3.?求证数列{ }是等比数列.S20.已知数列{a n}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,S n 为其前 n 项和,a 1,2a 7,3a 4 成等差数列,求证12S3,S 6,S 12-S 6 成等比数列.第 4 页 共 9 页第二章 数列参考答案一、选择题1.C解析由题设,代入通项公式 an=a 1+n-1d,即 2 005=1+3n-1,∴n=699.2.C解析本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.设等比数列{a n}的公比为 qq>0,由题意得 a1+a 2+a 3=21,即 a11+q+q 2=21,又 a1=3,∴1+q+q 2=7.解得 q=2 或 q=-3不合题意,舍去,∴a 3+a 4+a 5=a 1q21+q+q 2=32 27=84.3.B.解析由 a1+a 8=a 4+a 5,∴排除 C.又 a1·a8=a 1a1+7d=a 12+7a 1d,∴a 4·a5=a 1+3da 1+4d=a 12+7a 1d +12d 2>a 1·a8.4.C解析解法 1设 a1= ,a 2= +d,a 3= +2d,a 4= +3d,而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,x 2-2x+n=04111中两根之和也为 2,∴a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d=4,∴d= ,a 1= ,a 4= 是一个方程的两个根,a 1= ,a 3= 是另一个方程的两个根.745∴ , 分别为 m 或 n,675第 5 页 共 9 页∴|m-n|= ,故选 C.21解法 2设方程的四个根为 x1,x 2,x 3,x 4,且 x1+x 2=x 3+x 4=2,x 1·x2=m,x 3·x4=n.由等差数列的性质若 ?+s=p+q,则 a?+a s=a p+a q,若设 x1 为第一项,x 2 必为第四项,则 x2= ,于是可得等47差数列为 , , , ,413547∴m= ,n= ,6∴|m-n|= .215.B解析∵a 2=9,a 5=243, =q 3= =27,25a94∴q=3,a 1q=9,a 1=3,∴S 4= = =120.+5406.B解析解法 1由 a2 003+a 2 004>0, a2 003·a2 004<0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数,又 a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故 a2 003>a 2 004,即 a2 003>0,a 2 004<0.∴S 4 006= = >0,60641+43∴S 4 007= ·a1+a 4 007= ·2a2 004<0,277故 4 006 为 Sn>0 的最大自然数. 选 B.解法 2由 a1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a2 004<0, 同解法 1 的分析得 a2 003>0,a 2 004<0,∴S 2 003 为 Sn 中的最大值.∵S n 是关于 n 的二次函数,如草图所示,∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小,∴ 在对称轴的右侧.074根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧 零点 B 的左侧,4 007,4 第 6 题第 6 页 共 9 页008 都在其右侧,S n>0 的最大自然数是 4 006.7.B解析∵{a n}是等差数列,∴a 3=a 1+4,a 4=a 1+6,又由 a1,a 3,a 4 成等比数列,∴a 1+4 2=a 1a1+6,解得 a1=-8,∴a 2=-8+2=-6.8.A解析∵ = = = · =1,∴选 A.59S2519a?35?99.A解析设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=-1q 4,∴d=-1,q 2=2,∴ = = .2ba?10.C解析∵{a n}为等差数列,∴ =a n-1 +a n+1 ,∴ =2a n,2又 an≠0,∴a n=2,{a n}为常数数列,而 an= ,即 2n-1= =19,1?S38∴n=10.二、填空题11. .23解析∵fx= ,21?x∴f1-x= = = ,1?xx?x21?∴fx+f1-x= + = = = .x2?xx?x21?设 S=f-5+f-4++f0++f 5+f6,第 7 页 共 9 页则 S=f6+f5++f0++f -4+f-5,∴2S=[f6+f-5]+[f5+f -4]++[f-5+ f6]=6 ,2∴S=f-5+f-4++f0++f 5+f6=3 .12. (1)32;(2)4;(3)32.解析(1)由 a3·a5= ,得 a4=2,24∴a 2·a3·a4·a5·a6= =32.(2) ,91221???????q∴a 5+a 6=a 1+a 2q4=4.(3) ,2+44821834 qSS?????∴a 17+a 18+a 19+a 20=S 4q16=32.13.216.解析本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与 , 同号,由等比中项3827的中间数为 =6, 插入的三个数之积为 6=216.2738??382714.26.解析∵a 3+a 5=2a 4,a 7+a 13=2a 10,∴6a 4+a 10=24,a 4+a 10=4,∴S 13= = = =26.213210413?15.-49.解析∵d=a 6-a 5=-5,∴a 4+a 5++a 10= 2710= 5d第 8 页 共 9 页=7a 5+2d=-49.16.5, n+1n-2.解析同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,∴fk=fk-1+k-1.由 f3=2,f4=f3+3=2+3=5,f5=f4+4=2+3+4=9,fn=fn-1+n-1,相加得 fn=2+3+4++ n-1= n+1n-2.三、解答题17.分析判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数.证明(1)n=1 时,a 1=S 1=3-2=1,当 n≥2 时,a n=S n-S n-1 =3n 2-2n-[3n-1 2-2n-1]=6n-5,n=1 时,亦满足,∴a n=6n-5n∈N* .首项 a1=1,a n-a n-1 =6n-5-[6n-1-5]=6常数n∈N*,∴数列{a n}成等差数列且 a1=1,公差为 6.(2)∵ , , 成等差数列,bc∴ = + 化简得 2ac=ba+c.a1+ = = = = =2· ,c ac2ac2+cbbca+∴ , , 也成等差数列.abcba18.解(1)由题设 2a3=a 1+a 2,即 2a1q2=a 1+a 1q,∵a 1≠0,∴2q 2-q-1=0,∴q=1 或- .第 9 页 共 9 页(2)若 q=1,则 Sn=2n+ = .123n当 n≥2 时,S n- bn=S n-1 = >0,故 Sn> bn.若 q=- ,则 Sn=2n+ - = .2149+2当 n≥2 时,S n- bn=S n-1 = ,4故对于 n∈N ,当 2≤n≤9 时,S n>b n;当 n=10 时,S n=b n;当 n≥11 时,S n<b n.19.证明∵a n+1 =S n+1 -S n, an+1 = Sn,2∴n+2S n=nS n+1 -S n,整理得 nSn+1 =2n+1 S n,所以 = .1故{ }是以 2 为公比的等比数列.n20.证明由 a1,2a 7,3a 4 成等差数列,得 4a7=a 1+3a 4,即 4 a1q6=a 1+3a 1q3,变形得4q 3+1q 3-1=0,∴q 3=- 或 q3=1舍.由 = = = ;3612Sqa?31623?16= -1= -1=1+q 6-1= ;612S62a?61得 = .312612∴12S 3,S 6,S 12-S 6 成等比数列.
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