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古典概型中样本空间的选取数学与应用数学专业学生 张媛媛指导教师 徐伟摘要在古典概型计算中由于样本点总数的计算必须在已经确定的样本空间进行,如何选取适当的样本空间是研究古典概型的首要问题。即使为同一问题,考虑的角度不同,得到的样本空间也不同。如果对古典概型的样本空间只作抽象的描述,不便于真正理解不同问题样本空间的联系和区别,以至于在求事件概率时,选取错误的样本空间,滥用古典概型公式,论文正是基于这一目的,在正确思路和有关基础理论的基础上,通过对典型的例子进行研究,分析其一般原则和最佳样本空间的构思,通过结构对称压缩法构造恰当的样本空间,选择最佳的样本空间,简化古典概率的求解。关键词古典概型 概率 样本空间 排列组合 The selecting of sample space in the classical probability modelStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Zhang Yuanyuan Tutor XuweiAbstract In the classical probability model,the calculation of the sample points must be conducted in sample space what have been identified .How select the appropriate sample space of classical probability model .Even for the same problem. Only for the abstract description about sample space in the probability model .Due to the different research questions,Sample space is also different. It is difficult to understand the links and differences between the different sample space .When seeking the probability of something will lead to selection the wrong sample space and abuse sample space .The purpose of this paper is based on the correct ideas and theories about the underlying .By studying about typical example to analyze the general principles and best sample space. Construct the appropriate sample space by a symmetrical compression to choose the best sample space and simplify the solution of classical probability model .Key words classical probability model; probability; sample space; 引言 古典概型是概率论中最重要的内容之一,在概率论中占有很重要的地位。古典概型的求解包含两个步骤第一步选取适当的样本空间 ,使它满足有限和等可能的?要求, A是为 的某个子集;第二步先计算样本点总数 n,然后计算事件的有利场?合数 m。如何构造样本空间是古典概型解题首要问题。随着科学技术的进步,概率论在科学中得到越来越广泛的应用。样本空间在概率学习中往往被忽视,但是它的选取在问题解决中至关重要,本文避开在其构造中可能会出现的总总错误,只在正确思想的前提下,通过举例说明样本空间的选取在解题过程中的重要性。1 古典概型变量古典概型也叫创痛概率,其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的,而且每个单位事件发生的可能性均相等,则这2个随机试验叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概型。1.1 古典概型的起源众所周知,最先吸引数学家研究的赌博问题就是分赌本问题甲乙两人赌技相同,各出赌资 500元。约定谁先胜 3 局谁就拿走 1000 元。现在赌了三局,甲两胜一负,因故要中止赌博,问这 1000元要如何分才公平有人认为按已胜的局数分,即甲拿三分之二,乙拿三分之一,但是这样分是不合理的,因为设想继续赌下去,结果无非以下四种甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。把已赌过的三局与此对照,可以看出,对前三个结果,都是甲先胜三局,因而得 1000 元,只有最后一个结果乙才得1000 元,在赌技相同的情况下,这四个结果出现的可能性相等,即甲乙最终获胜的可能性之比为31,所以全部赌本按这个比例来分,即甲分 750 元,乙分 250 元才算公平合理。1.2 古典概型的判断一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。2 古典概型的计算2.1 样本空间的选择古典概型的习题大多是求随机事件 A 的概率,求解包含两个步骤首先选取适当的样本空间,使它满足有限性和等可能性,且把 A 表示为 的某个子集;然后计算样本点总数和时间的有??利场合数 m。在第二部中要计算需要动用排列组合方法,但是排列组合具有技巧性和灵活性,给人难做的印象,下面则通过一些典型的例子具体讨论重视第一步,即选择适当的样本空间的重要意义。例 1 袋子里有 a 只黑球,b 只白球,一次随机摸取一个球,求 第 k 次(1 k ab)摸出A?黑球的概率。解 方法一球依次被摸出,知道摸完为止,这就是把(ab)个球全排列,所以这样样本点总数为(ab),有利场合数为 a(ab-1),所以 p( )a(ab-1 ) aba (ab) 。kff方法二我们换一个角度看问题,即从球的角度观察哪个球第 k 次出现,一共有(ab)个球,也就是一共有(ab)总可能,有利场合数有 a 个,所以 p( )a (ab) 。Af第一个方法用排列组合的方法,方法二没有。显然,方法二更简单一些。虽然方法一是最容易想到的,但是方法二也是比较容易掌握和理解的。到底两种方法的区别和联系在哪呢其实就是选取的样本空间有所不同。方法二的样本空间为第 k 次摸出球的全部可能结果,这个样本空间是最小的,所以计算的步骤简化了例 2 包括甲乙在内的 n 个人随机站成一圈,甲乙相邻的概率是多少解 把这个问题看成圆周排列的一个应用,但是在这里不选择这种方法。设甲已经先坐好,再考虑乙的坐法。乙总共有n-1 个位置都是等可能的,而有利场合有 2 个,即所求的概率为 2 (n-f1) 。把上述解法作细致的分析,即我们取样本空间 { , }。 表示乙坐在甲左边第?1E2n-1ii 个位置上,满足有限和等可能的要求,用事件 A 表示 的子集{ , }.2n-1E对于例 2 这样选取的样本空间 是最小的,而且不使用排列组合。而其他方法解题选取的样本空间只会比这大,且解法复杂。 3例 3 有 m n 个球,一个是黑色,一个是白色,其余的都是红色,把这 m n 个球随意 的放? ?进 m 个袋中,每个袋子放 n 个球。求黑色球和白色球放在同一个袋中的概率。解 如果此题用计算排列组合的方法去解,是很困难的。但是如果用类似前面例题的 方法来解答就容易多了,首先要注意题目所描述的条件等价于随机的把 m n 个球依次排列,只要我们注意黑球白球的位置。假设黑球已经先放好,那么白球的可能位置一共有mn-1个,而有利场合数,即白色球落入黑球所在的袋子,有(n-1)个,即所求概率为 n-1 (mn-1) 。f例 4 任意选取一正整数,求该数的平方被 5 整除的概率。解 须注意到不能把全体正整数作为此题的样本空间,这样的空间是无限的,所以不是等可能的。所以首先要进行分析,正整数的平方能不能被 5 整除取决于此正整数的末位数,即它们可以是 0,19 这十个数中的一个。任取一个正整数的含义就是十个数字出现的可能性是相等的。即选取样本空间 {0,1,29}。所求概率事件 A{0,5},即 P( A) 。?2105以上我们就是通过几个例题了解适当选择样本空间的重要性。2.3 典型例题解析对于同一个问题,样本空间也可以有不同的取法。而且在计算时应该要注意基本事件的总数和有利场合数的计算要在一个样本空空间中进行。例 1 在一个盒子中有十个相同的球,分别标记为 1,2,10,从中任意选取一球,则此球的号码是偶数的概率。解法一若选择样本空间 S{1,2,,10} ,则基本事件的总数为 n10,A{选取球的号码为偶数} ,事件 A 的基本事件数 m5,因此 p(A ) mn12解法二设 A{所取的球号码为偶数},B{所取球的号码为奇数} ,所选取的样本空间为S{A, B},由 A,B 的对称性可得 PA 12例 2 袋子中有 a 个黑球,b 个白球,把球随机的摸出来(一次摸一个不放回) ,直到袋子中剩下的球相同,求剩下的球都是黑球的概率。解假设摸球直到全部摸完为止,则“最后全剩下的为黑球” (事件 A)和“最后摸出的为黑球” (事件 B)为同一问题,可以继续这样思考如果到最后全剩下黑球(A 发生) ,最后摸出的必是黑球(B 发生,所以 A B); 反之,若最后摸出的为黑球( B 发生) ,则最后剩下的同?颜色球必包含这最后一个球,即剩下的球必是黑球(A 发生,即 B A) 。所以这两个事件是?相等的。事件 B 也就是在低( ab)此摸出黑球,概率为 ab2.3 对称压缩法在古典概型中,对等的事件发生的概率的相等的。对于结构处于完全对称和平等地位的事件,发生的概率应该是相同的,而且这样不但可以很大幅度的成倍的压缩样本空间,并且可以甩开繁琐的排列组合,从而简化计算的过程和步骤,达到事半功倍的效果。这种通过对称性成倍压缩样本的方法叫做对称压缩法。因为在古典概型中的可能性决定了在这个模型中的事件具有对称性。其优点是可以抛开种种纠缠不清的关系,直接得到结果。例 1 袋子中有 a 个白球和 b 个黑球,每次从袋子里任意取出的球不再放回去,连续取出 个k球( ab) ,求第 次取出的为白球的概率。k?k解 方法一 设 A 为所求事件,把 a 个白球和 b 个黑球看作不同,而且考虑拿球的顺序,此时试验可以看成把 ab 个球进行排列。则样本空间为 ab 个球的所有的全排列组成,所以总样本点数有(ab)个,则第 个位置为白球的排列法有 a(ab-1) 个,所以 P(A)41aba???方法二 把 a 个白球和 b 个黑球看作不相同,把试验看成观察第 次选取的球的结果,k则这 个球是平等对称的,因为每个球第 次被摸到的可能性是相同的,压缩样本空间后的总k样本点数为( )个,则第 个位置为白球的放置方法仅仅有 种,所以 P(A)bkaab?这道题解释的抽签原理,抽签的结果与抽签的先后顺序无关,因此对于所有的人都是公平的,而且,这道题的结论有助于解类似的相关题目。例 2 掷一枚均匀硬币 2 1 次,求出现正面多于反面的概率。n解 设 A{正面数 反面数},B{反面数 正面数} ,投掷次数为奇数,所以 A ,此外?? B由于硬币是均匀的,投掷是随机的,故 A,B 是对称平等的,由对称性可知 P(A)PB,所以 PA 12此题利用事件本身的对称性简化计算过程。例 3 在线段 AB 上任意取 3 个不同的点, 。求 位于 之间的概率。123,x2,x1,3解 设 { 位于 之间 }, { 位于 之间}, 位于 之间},事件1Ax2, 2A,, {A?1,2x中任意两个事件之间是互斥的,所以取只有 3 个样本点的样本空间 { },23, ?23,A即所求事件 P 。2此题为无限样本空间问题在古典概型中的求解提供了一种思路,使得解法简洁、自然。例 4 将标号为 1、2、3、4 的四个小球任意的排成一排,求 1 号球排在 2 号的右边(不一定相邻)的概率解 由于 1 号球不是排在 2 号球的右边就是排在 2 号球的左边,二者必居其一。而交换 1 号球和 2 号球的位置其左右也正好发生交换,所以排在左边与排在右边的排法是相同的,各占其中的 ,2所以 1 号球的右边的概率是 (当然 1 号球排在 2 号球的左边的概率也是 )122.4 样本空间减小法在古典概型中,有一种重要的概率条件概率。在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率PB|A的计算方法有两种(1) 定义法在原样本空间 中先计算 P(A) ,P(AB)再按照 PB|A 来计算?PABn?其概率。(2) 样本空间缩小法5考虑在事件 A 发生的条件下,原样本空间 缩小为子事件 A,在缩小之后的新的?样本空间 中再计算 B 发生的概率,即 PB|A?ABn利用方法 2 计算的条件概率 P(B|A)仅需要用事件 A 的范围来考查事件 B 的发生概率,从而 ,这样样本空间就减小到了最小。这种利用条件概率的特殊性来缩小样本空间的方法A?称为样本空间缩小法,这种方法能使计算变得简单、巧妙。例 1 盒子中装有 2 -1 个黑球和 2 个白球,从中任取 个球,结果都是同一颜色的球,球nnn这些球都是白球的概率。解 设 A{抽取的 个球为白球},B{抽取的 个球为同一颜色} ,A B,则所求的概?率为 P(A|B)方法一 在原有的样本空间 中,考虑 PA|B ,PAB ,然后计算 P(A|B )?241nC?241n? ABP21nC??3例 3 同时掷两颗骰子,计算出现点数之和为偶数的概率。方法一若选取样本空间 S{(1,1) (1,2)(1,6)(2,1) (2,2)(2,6)(6,1)6,2(6,6)}基本事件的总数为 n36,设 A{出现点数之和为偶数},事件 A 的基本事件数 m18,所以PA 18362mn?方法二试验的结果为(奇,奇) , (奇,偶) , (偶,奇) , (偶,偶) ,则样本空间为S{(奇,奇) , (奇,偶) , (偶,奇) , (偶,偶)} ,样本总数为 n4,则事件 A{出现点数之和为偶数} 中含有基本事件数 m2,即 PA 214mn?方法三把试验的结果取{(出现的点数之和为奇数) , (出现的点数之和为偶数) },样本空间 S{(出现的点数之和为奇数) , (出现的点数之和为偶数)} ,样本总数 n2,而事件 A{出现的点数之和为偶数},所包含事件数为 m1,因此 P 2此题说明,即使是同一个问题,样本空间的选取不同,解法也会不同,难易程度也会不一样,计算效果就会不同。选取的样本空间越小,计算也就会越简单。例 2 袋子中有 个白球,b 个红球,k 个人依次在袋子中抽取一个球(1)作放回抽样;a(2)作不放回抽样,计算第 i(i1,2 k)个人抽到白球(事件 A)的概率。 (k ab)?解 1在放回抽样情况下,有 PB ab?2在不放回抽样的情况下,解法一每个人各抽取一个球,每一种取法就是一个基本事件,则基本事件共有abab-1(ab-k1) 个,又因为每个基本事件的可能性是相同的,所以当事件 B 发生时,第 i 人kabA?取的应该是白球,当然它可以是 a 个白球中的任意一个,共有 a 钟抽取方法,则其余的 k-1 个球可6以是 ab-1 个球中的任意 k-1 个,总共有 ,因此 PB 1kabA??1kabA???解法二选取样本空间为第 k 此取出球的全部可能结果(形象的说,不从摸球的角度看待问题,而是从球的角度看待问题,即哪一个球第 k 此被摸到) ,也就是说,把(ab)个球编号,前 a个球是白球,后 b 个球是红球,样本空间为 S{ }, 表示第 ik 次摸到第 i 号球,可12,abd?id见每一个球都有可能在第 k 次被摸到,且被摸到的可能性是相同的。则要求的事件 B{}概率 P12,ad?2.4 事件对等转化法两个事件相等,它们的概率也是相等的,所谓的对等事件转化法就是利用了这一性质,当事件A 的样本空间样本点的总数不但庞大而且复杂难求时,与之相等的另外一个事件 B 样本空间却比较小而且比较好求时,可以巧妙地将之进行对等转化,把求事件 A 的概率转化成求事件 B 的概率。一、古典概型在公式计算中分子分母应对等古典概型计算公式为 PA ,n 为有限样本空间包含的样本点个数,m 为相同的样本空间中的事件 A 所包含的样本点的个数,而且各样本点是等可能发生的。因为每一个事件的解题方法千变万化,样本空间就会千变万化,假若先找出样本空间,再去求事件个数的做法显然比较麻烦。但是如果事件 A 与作为样本空间的总事件做法相同,它们就一定在相同的样本空间。这样可以先求出样本空间的个数,再用相同的做法求事件做法的个数。例 1 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球、3 个黑球、4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回,连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球和第二次摸出白球的概率。从袋子中一次摸出 2 个球共有 种可能,第一次摸出的为黑球,第二次的为白球有29A种可能,所求概率为134A13429p?二、两个事件相等,它们的概率也是相等的,所谓的对等事件转化法就是利用了这一性质,当事件 A 的样本空间样本点的总数不但庞大而且复杂难求时,与之相等的另外一个事件 B 样本空间却比较小而且比较好求时,可以巧妙地将之进行对等转化,把求事件 A 的概率转化成求事件 B 的概率。例 1 二人掷一枚均匀硬币,其中甲掷 n1 次,乙掷 n 次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率。此题的情况比较多,它的对立事件的情况也比较多,正面解答 特别麻烦,但是如果我们巧妙地利用对称性就能容易的解决问题,下面就利用对称性进行解答。解 设 ,H甲 甲 掷 出 正 面 的 次 数, , ,则乙 乙 掷 出 正 面 的 次 数 H乙 乙 掷 出 反 面 的 次 数 H乙 乙 掷 出 反 面 的 次 数-( )( )( ??甲 乙 ?甲 乙 ?甲 乙有硬币的均匀性知 和 具有对称性,即 P( )P ,又?甲 乙 甲 乙 ?甲 乙 H?甲 乙7P( )P( )1,即 P( )0.5H?甲 乙 H?甲 乙 H?甲 乙例 2 袋子中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除了颜色不同之外都相同,现在由 10 个人依次摸出一个球,设第一个人摸出的是黑球的概率为 ,设第 10 个人摸出的球的颜色是黑球概1率为 ,这种情况下 和 是什么关系1010分析此类题一般用乘法公式计算,但是如果注意到题中的对称性用来解题,则可以轻而易取的得出结果。解 题中第 1 个人和第 10 个人是有顺序的,但是球是没有顺序的,固定第 1 个人和第 10个人,让球排列,则是对称的,所以 .由于第 2 9 个人取到黑球与后面的人取什么球没有关1P0系,所以同理可得 .123P?4567810P??又由于 ,所以 01iip??12345678910P?例 3 袋子中有 a 个白球,b 个红球,从中逐个取出不放回,则第 k 次取得白球的概率是多少解 显然 k ab,对 a 个白球编号为 1,2,a ,则白球就有了区别,同上一题一样,第 k?次取得 1 号白球的概率为 ,同理取到 2 a 号白球的概率也为 ,所以第 k 次取得白球的1?1ab?概率是 .ab?致谢本论文完成之际,我要由衷感谢徐伟老师在课题设计和论文写作上的悉心指导,同时对所有帮助过我们的老师和同学致以谢忱.参考文献[1] 茆诗松,程依明,濮晓龙,概率论与数理统计教程[M].北京高等教育出版社,2004[2] 邓天炎,叶留青,概率统计[M].徐州中国矿业大学出版社,2004.[3] 魏宗舒,概率论与数理统计教程[M]..北京高等教育出版社,1983.[4] 复旦大学编.概率论[M]..人民教育出版社,1979.[5] 何声武,概率论与数理统计[M].经济科学出版社,1991.
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