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三角函数的性质讲义一、 【知识要点】1、 图象和性质图表解函数 正弦函数 余弦函数 正切函数图象定义域 R R ?????????Zkx,2?值域 ??1,?最大值为 1,最小值为-1??1,?最大值为 1,最小值为-1R无最大值,最小值周期性最小正周期为 ?2最小正周期为 ?2最小正周期为 ?奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在[上]2,2??k??都是增函数;在[ ]3,上都是减函数(k Z)?在[( )12?k?,上都是增函数;在[ ]都是,减函数 Zk?在 (2,?k??上都是增函数Zk对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴 2???kx对称中心坐标 ,0,以上的 Z?既是轴对称又是中心对称图形对称轴 ?kx?对称中心坐标为,以上的0,2?Zk?是中心对称图形对称中心坐标 ,02?kk Z二、 【知识应用】(一) 、求定义域例 1.求函数 的定义域。 1sin2cocos2lg???xxy解1 解不等式组 ???????????????21sinco01sin2coxx或∴ 函数定义域是 . ?????? ?????Zkxkx ,43262| ??或(二) .利用三角函数的性质比较大小例 1、2008 天津文设 、 、 ,则( )75sina7cosb7tan?A. abc?B. ?C. ?D. bc?解由 ,因为 ,所以 ,75sin??274?72tan1si72co0??故选 D.点评掌握正弦函数与余弦函数在[0, ] , [ , ]的大小的比较,画出它们的图象,从图象上4能比较它们的大小,另外正余弦函数的值域[0,1] ,也要掌握。(三) .复合型三角函数图像的识别例 2、2008 山东文、理函数 其中 的图象是( )xycosln?2???xyxπ2?Oyxπ2?Oyxπ2Oyxπ2OA. B. C. D.解 ( )是偶函数,可排除 B、D,由 的值域可以确定.因此本题xycosln???x xycos?应选 A.(四) 、求值域、最值1、利用三角函数的有界性求值域1、形如 yasinxbcosxc 型引入辅助角公式化为 sinxφc 再求值域.2ba?例 1、求函数 fx2sinxcosx 的值域3?解fx2sinx cosx- sinx(2- )sinx cosx213321 ,故 fx∈[ ]sin3???53?,2、形如 yasin2xbsinxcosxccos2x 型通过降幂转化为 AsinxBcosx 再求值域.例 2、fx2 asinx·cosx-2asin2x1(a0 )的值域解fx asin2xacos2x-a12asin2x -a136?∵a0,sin2x -a1 ∴fx∈[-3a,a1]6?2、用换元法化为二次函数求值域1、形如 ysin2xbsinxc 型令 sinxt 转化为二次函数再求值域.例 3、k1,故当 t1 时,4k4kymin1,当 t- 1 时,y max1-2k,即 y∈[1,1-2k]2、形如 yasinx·cosxb(sinx±cosx)c,换元令 sinx±cosxt转化为二次函数在 上的值域问题]2,[?例 4、求函数 ysinx·cosxsinxcosx 的值域解令 sinxcosxt,t∈ ,则 sinxcosx ,y t t12-1],[21?t2t1当 t-1 时,y min-1,当 t 时,y max ,即 y∈[-1, ]23、考察结构特征,用分离常数法求值域形如 y 型,可用分离常数法转化为 ya 再求值域.dxcba?os xb例 5、求函数 y 的值域.12?解y ∵-1 ≤cosx≤1 且 cosx≠ ,cos2cs?xx 21∴ ≤- 或 ≥2,故 y∈o3 ,3[]1,????4、反函数思想求值域形如 y 可用反函数思想转化为 fysinxφgy求值域.dxcba?sin例 6、求 y 的值域.32?解由 y 得 2ysinx-3y3cosx-2siox2ysinx-3cosx3y-2, ·sinxφ3y-2sin xφ ,942?y 9423??y由|sinx φ| ≤1 得| |≤1,即 y∈32?y ]561,6[?5、化为一元二次方程用判别式求值域形如 y 也可用判别式求值域dxcba?sino例 7、求函数 y 的值域s2i解 ,设 ttanxcosi?2sin3co2x?ta32x2x则 y yt2-2t3y0,当 y0 时,t0 适合,当 y≠0 时,由△4-12y 2≥0t??,故 y∈[ ].3??y3,6、根据代数函数的单调性求值域形如 yasint ,令 sintx,根据函数 yax 的单调性求值域.tbsinxb例 8、θ∈0,π,则函数 ysinθ 的值域为_________.?sin2分析设 xsinθ,则 x∈ ,即 yx , x∈ ,由图象得,当 x1 时,y min3,故 y∈]1,0]10 ]3,0例 2.求函数 的值域.2sin???y法一 , 又∵ -1≤sinx≤1, ∴ -3 ≤sinx -2≤-1, 2sin52sin1????xxy∴ ∴ 函数的值域为 .].3,[,3???y ]31,[?法二由 解得 , ∵ -1≤sinx ≤1, ∴ 解得 ,sixysi 12??y31??y∴ 函数的值域为 。]1,[?2, 全国高考试题当 时,函数 的 2??x xxfcos3sin??A、最大值是 l,最小值是-1 B、最大值是 l,最小值是-2C、最大值是 2,最小值是- 2 D、最大值是 2,最小值是-1 解 。 , ∴ -1≤fx3sin2co3sin ?????xxf 65362????????xx≤2,应选 D。 3,上海高考试题函数 fx= 3sinx·cosx-4cos 2x 的最大值为______。 解 2sin49cossic1si2 ??? ?xxf. 评注本题注重考查形如 fx= asinxbcosx 的最值 . (五)求三角函数的周期例 3,已知函数 , (1)求该函数的最小正周期;xxy22cos3sini????(2)求函数的最小值及相应的 x 的集合。〖变式训练〗1, 上海高考试题函数 y=2sinxcosx-2sin 2xl 的最小正周期是________。 解 .,4sin2co2sin???????Txxy2,下列函数是否是周期函数并求其最小正周期 .sin5;cos;sin3 42cs3i;i,144 xyxyxy x??? ??(六) 、考查函数的单调性 例 4 上海高考试题函数 的单调减区间是____。 ]0,[62sin????解令 。 则 y=2sinu 的单调减区间为 ,即62???xu 232Zkuk??????,又因为 ,令,3323 ZxkZkk ???????? ]0,[?xk=-1,得所求单调减区间是 。 ],65[??〖变式训练〗1,求函数 的单调递减区间。23sinxy??(七)三角函数的奇偶性例 5,判断函数的奇偶性。xxfxxf sin1colg2;cos2cos1 ??????(八) 、函数的对称性 例 6全国高考试题关于函数 ,有下列命题 Rxxf ???,32sin4?1y = fx的表达式可改写为 ; 6co?y2y = fx是以 为最小正周期的周期函数; ?23y = fx的图象关于点 对称; 0,6?4y = fx的图象关于直线 对称. ??x其中正确的命题的序号是_______ 注把你认为正确的命题的序号都填上 . 解 由上式知1正确. ,知2错62cos432cos432sin4 ?????? xxxf ??T误. ∵ , xf in]6i[6 ???∴fx 的图象关于直线 对称,但 fx图象不关于点 对称,故3错误,4 正确,所以??0,6??填1、4. 例 7 全国高考试题如果函数 y= sin2xacos2x 的图象关于直线 对称,那么 a= 。 8?xA. B. C.1 D.-1 解函数 y=sin2xacos2x 的图象关于直线 对称,表明当 时,函数取得最大值????,或取得最小值- ,所以 , 即12?a12?a 1]4cos[sin2???aa, 故应选 D. 2????(九) 、考查函数的图象变换 例 8 全国高考试题已知函数 。 1当 y 取得最大值时,求自变量 x 取值的集合; 2该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 解1 y 取最大值当且仅当 ,k∈Z, 即 k∈Z, 所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为 . ?????????Zx,23|?2变换的步骤把函数 y=sinx 的图象向左平移 ,得到函数 的图象,令所得到的图象66sin???xy上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 的图象,经过这样的变换就2得到函数 的图象. (十) 、考查函数的解析式 例 10 全国高考试题如图 1,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数。 1求这段时间的最大温差; 2写出这段曲线的函数解析式. 解1由图 1,这段时间的最大温差是 30-10=20℃. 2图中从 6 时到 14 时的图象是函数 的半个周期的图象, ∴ ,解得 。 由图示, , 。 这时 。 将 x=6,y=10 代入上式,可得 。 故所求的解析式为 x∈[6,14]
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