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环形薄圆板的非线性振动分析.pdf

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独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果,除了文中特别加以标注和致谢之处外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得盘注盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的庄何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名/季级 签字日期胖年,L月夕日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解 蠢生盘鲎 有关保留、使用学位论文的规定。特授权丕鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。保密的学位论文在解密后适用本授权说明学位论文作者签名夕参孔签字日期∥甲年l。月7日跏掘径缈彬签字日期雌,甥、日第一章绪论第一章 绪论§1.1 课题的研究意义混沌振动是一种由确定性系统产生对于初始条件极为敏感而具有内禀随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。关于混沌振动的研究已成为振动力学中一个蓬勃发展的新领域。它不仅对数学、物理、力学的各个分支有重大促进,而且也为化学、生物学、生态学、经济学等学科提供一种分析问题的全新思路,甚至对人类认识自然界的一些基本概念,如因果性、决定论、随机性等也有深刻启示。【1州板壳非线性振动问题长期以来受到人们的极大关注,特别是随着非线性动力学的发展,板壳中蕴涵着一些复杂的动力行为逐渐为人们所认识和了解。【2J目前包括非线性动力学在内的非线性科学最重要的成就之一就在于对混沌现象的认识。而关于混沌动力学的许多概念和方法,如奇怪吸引子、相空间重构和符号动力学,也正在广泛地运用于自然科学和社会科学的各个门类之中,并取得了普遍的成功。【3 q20世纪60年代初、70年代后期迅速发展起来的混沌理论是以往非线性动力学理论的续篇,m】因为人们认识到由于非线性,动力系统失稳后将会发生分岔,产生新的平衡态,经过突变和不断地分岔后,系统最后进入混沌。因此混沌理论成为近代非线性动力学中重要的组成部分。但近些年在固体力学领域内对混沌问题的实验和理论研究大都限于梁,对板或壳体的混沌问题的研究至今未见报道。[41在理论上,尽管人们已提出一些方法去解决圆板的混沌振动问题,但仍未有人探讨过环形圆板的混沌振动。本文旨在研究这一方面问题。另一方面,环形圆板的振动控制方程是硬弹簧型达芬方程,因此对环形圆板混沌振动的研究归根结底是讨论这一方程控制参数对方程拓扑结构的影响。但20多年来,人们主要探讨软弹簧型及双势阱达芬方程。本文结合环形圆板分析了硬弹簧型达芬方程。§1.2 国内外研究历史及现状非线性振动的研究开始于19世纪后期。非线性振动的理论基础是由庞加莱H.Poincare奠定的,他开辟了振动问题研究的一个全新方向定性理论。定性理论的一个特殊而重要的方面是稳定性理论,最早的结果是1788第一章绪论年拉格朗[jLagrange,J.L.建立的保守系统平衡位置稳定性判据。在定量求解非线性振动的近似解析方面,最早是1830年泊松s.D.Poisson研究单摆振动时提出摄动法的基本思想;到了1955年,米特罗波尔斯基推广了由克雷洛夫和博戈留博夫共同发展的适用于一般弱非线性系统的平均法而最终形成KBM法。非线性振动的研究还有助于人们认识一种新的运动形式混沌振动。庞加莱在上个世纪末已经认识到不可积系统存在复杂的运动形式,运动对初始条件具有敏感依赖性,现在称这种运动为混沌。1973年上田和林千博在研究达芬方程时得到了一种混乱、貌似随机且对初始条件极度敏感的数值解。it,b]在固体力学领域,对非线性振动问题的研究大致如下文献[4]讨论了各种板边条件下大挠度圆扳的全局分岔和混沌运动;文献[5]研究了正交各向异性圆板非线性振动的亚谐分岔;文献[6]研究T_-次非线性粘弹性圆板的分岔和混沌运动;文献[7]研究了由非线性圆板简化得到的强非线性达芬方程的摄动解;文献[8]利用伽辽金方法证明了弹塑性圆柱壳可能进入混沌状态;文献[9]研究了可能导致简支矩形板大挠度情况下进入混沌运动的条件文献[10]介绍了一种确定双激振力系统是否进入混沌状态的积分方法文献[il]和[12]探讨了高阶模态对屈曲梁进入混沌运动状态条件的影响文献[13]引入了求解线性阻尼的自治弱非线性系统达芬方程的方法文献[14]用梅利尼科夫方法研究了受周期力作用的锁相闭合电路以及单摆共同组成的系统的次谐分岔以及混沌运动; ,文献[15]研究了弱阻尼双势阱达芬方程在高频双谐波外激振力下的共轭共振与分岔;文献[16]研究了屈曲梁线性应变的弹塑性材料在简谐激振力下的混沌振动;文献[17]引入了TDG方法以求解任意非线性结构动力问题,包括硬弹簧型达芬方程}文献[18]引入了两种控制方法分析软弹簧型与硬弹簧型达芬方程;文献[19]引入了雅各比椭圆函数解决了微扰硬弹簧型达芬振子的非线性振动;2第一章绪论文献[20]研究了弱非线性单自由度简谐激振力下的哈密顿系统在分岔参数缓慢地跨过分岔点的动力特性;文献[21]研究了粘弹性矩形棒在均布简谐激振力作用下的周期运动和混沌运动以及由于粘弹性参数的增加而观察到的混沌运动轨迹;至今仍未有关于环形薄圆板非线性振动方面的研究;另一方面,多数是对弱非线性自治系统软弹簧型达芬方程的研究,像李雅谱诺夫Lyapunov指数、梅利尼科夫Melnikov方法等等,而对于硬弹簧型达芬方程的研究,虽然以上部分文献也提出一些方法,但仍然很少见于报道。§1.3 本文的主要研究内容本论文将主要研究环形薄圆板的非线性振动问题。将环形圆板的瞬时挠度表示为以时间为自变量的周期函数与以内外半径比为自变量的轴对称振型试函数用四次幂函数表示的乘积.代入相容方程,求得艾瑞Airy应力函数的表达式,将两个表达式一并代入动态冯·卡门大挠度偏微分方程,并用加权残值法wRM法推导该方程,同时考虑了固定夹紧、可移夹紧、铰链支承及简单支承等四种工程中常见的边界条件。依据加权残值法原理,推导出了环形尉板的非线性振动控制方程,即硬弹簧型达芬方程。这表明了环形圆板的振动可以理解为受余弦周期激振力作用的小阻尼的非线性受迫振动系统。根据非线性动力学经典定量分析方法一渐近法,即KBM法,求得非线性振动控制方程的一次近似解,并且得到了包含外激振力、外边界条件、激振力频率和自振频率比、阻尼比的方程以及包含强迫振动和外激励间的相位差、激振力频率和自振频率比的方程,因此可以给定相应量从而做出振幅一频率响应曲线和相位差一频率响应曲线。接着,取外激振力为控制参数,利用Mathematica数学软件分析,发现随着控制参数的变化,动力‘系统的运动轨迹是一个围绕着原点运动的周期吸引子过渡到围绕纵轴对称的两个焦点的周期运动,流从围绕一个焦点运动到围绕另一个焦点运动,并没有出现分叉,因此说明了取外激振力为控制参数,不会导致系统出现混沌现象。第二章计算理论第二章 计算理论§2 1 引言本论文讨论的是1首先推导出极坐标下的冯·卡门偏微分方程及其边界条件。2再用加权残值法推导动态冯·卡门偏微分方程,从而得到了环形薄圆板的振动控制方程,即硬弹簧型达芬方程。它是一个小阻尼情况下、在外简谐激振力作用下的非线性振动微分方程。3利用非线性振动分析的经典理论一一渐近法,又称之为KBM法,解此振动控制方程,推导出非共振和主共振两种情况下的一次近似解。并得到了包含妒、6; eF,.、旦关系的方程式,由此可做出不同外边界条ma mo件、内外半径比、阻尼比、外激振力等四种情况下的口一旦曲线,以及mc日一旦皓线。‰4寻找环形薄圆板非线性振动的几何机制。因此本章介绍了薄圆板大挠度振动理论、伽辽金法、渐近法以及识别和解析非线性振动的方法。§2.2 环形薄圆扳动态冯-卡门大挠度偏微分方程的建立中面为一圆环形平面的扁平连续体且厚度远小于中面平面尺寸的平板称之为环形薄圆板。它主要承受垂直中面的横向荷载,将外荷载传递到支承处,此时板件发生垂直巾面的横向挠曲,相应的动力问题为薄板的横向振动问题。当然板件也有可能承受中面内载荷,若无横向外载同时存在,则属于平面振动问题,但这不是本文要考虑的情况。本文只考虑板件的横向振动,而不考虑平面振动。薄圆板横向振动是一种弹性体振动,若其挠度并不是远小于板的厚度.则必须考虑中面内各点由挠度引起的纵向位移,即中面位移引起的中面应变和中面内力。因此本文的讨论基于如下三个假定口l变和中面内力。因此本文的讨论基于如下三个假定lzJ4第二章计算理论第二章 计算理论§2.1 引言本论文讨论的是1首先推导出极坐标下的冯·卡门偏微分方程及其边界条件。2再用加权残值法推导动态冯·卡门偏微分方程,从而得到了环形薄圆板的振动控制方程,即硬弹簧型达芬方程。它是一个小阻尼情况下、在外简谐激振力作用下的非线性振动微分方程。3利用非线性振动分析的经典理论一一渐近法,又称之为KBM法,解此振动控制方程,推导出非共振和主共振两种情况下的一次近似解,并得到了包含印、£f和善、旦关系的方程式,由此可做出不同外边界条 % %件、内外半径比、阻尼比、外激振力等四种情况下的口一旦曲线,以及∞O口一旦曲线。 ‰4寻找环形薄圆板非线性振动的几何机制。因此本章介绍了薄圆板大挠度振动理论、伽辽金法、渐近法以及识别和解析非线性振动的方法。§2.2 环形薄圆板动态冯-卡门大挠度偏微分方程的建立中面为一圆环形平面的扁平连续体且厚度远小于中面平面尺寸的平板称之为环形薄圆板。它主要承受垂真中面的横向荷载,将外荷载传递到支承处,此时板件发生垂直中面的横向挠曲,相应的动力问题为薄板的横向振动问题。当然板件也有可能承受中面内载荷,若无横向外载同时存在,则属于平面振动问题,但这不是本文要考虑的情况。本文只考虑扳件的横向振动,而不考虑平面振动。薄圆板横向振动是一种弹性体振动,若其挠度并不是远小于板的厚度,则必须考虑中面内各点由挠度引起的纵向位移,即中面位移引起的中面应变和中面内力。因此本文的讨论基于如下三个假定;[214第二章计算理论1变形前垂直于中面的直线变形后仍为一直线,并保持与中面垂直,2忽略沿中面垂直方向的法向应力;3只计及横向惯性效应及均布简谐激振力qqo COsQt作用。虽然薄板的挠度并不远小于厚度,但仍然远小于中面的尺度,因此可得平衡微分方程[221 I监三至盟。0j Or r 00 7 2.2.1怛亟垃盈.0Lr a8 ar r由于本文探讨的是轴对称情况,故%一0,且q、Oo都只是,的函数,这时方程2.2.1a成为恒等式,而方程2.2.ib简化为常微分方程亟‘0“r--0“0。0 出r两边同乘以lr,并注意到tO“rⅣr,tcr。-虬,即得2.2.2r掣Ⅳr一虬.o 2.2.3在笛卡儿坐标下,薄板的振动微分方程为删矽讽罟2%缸02W砂N,铲02Wq f2.2·4利用笛卡儿坐标下和极坐标下各物理量的转换N;_N r N,。N e Nq’Nn a2形OzW OZW 1 OW 1 a2∥02W 1 a2Ⅳ 1 a∥万。矿’矿。ii7万’丽。7而一7百’可得到极坐标下的振动微分方程删叫N等¨2N.。导e≯OW讽e警专铷一目 忆z-,5在轴对称情况下,上列方程简化为。嘉÷导2旷一Ⅳr窘一虬÷警目,将式2.2.3代入,得5第二章计算理论。等詈争2∥一Ⅳr万d2W一7l石dW_【d删.,J-口 z.。.e再来考虑相容方程由几何方程‘.挈委已马。,其中‘为中面的径向正应变,咋为中面 orZ dr内各点的径向位移。在轴对称情况下,上式成为‘,idurj1‘了dW22.2.7径向位移“。引起的环向正应变是岛.ur 2.2.8,从式2.2.4及式2.2.5中消去“,,即得形变相容方程p鲁,岛一i1‘了dW2一o 2.2.9将2.2.10式代入2.2.9式,并利用2.2.3式消去N。,再经过简化,即得相容方程,2万d2N,3rldN厂,iEt.面dW_.2一o 2.2.11再引入艾瑞Airy应力函数妒售将N,一fq-f上a2三r鲤dr代入振动微分方程2.2.4,并引入一物理量{,叩;旦s芋。r16‘,s口,从而得到冯·卡门偏微分方程DV4彤亭一鲁%亭%亭。}口4q 2.2.12及相容方程V4妒亭譬彬}亭H名信-o 2.2.13m2眺烈一一NN。一日,一厨-I%q肛p一一∽‰●一E●一EI-‘%第二章计算理论§2.3 加权残值法的基本理论倥31在工程技术和科学研究中,我们常遇到各种各样的定解问题,即在”一定的几何边界条件或者初始条件下,求解问题的控制方程。这些控制方程既有微分方程,又有积分方程;既有线性方程,又有非线性方程既有单一的方程,也有藕合方程组。目前关于微分方程或积分方程的研究,仅仅能得到少量边值问题的精确解。因此,大量的定解问题只能通过近似求解来实现。加权残值法 of Weighted Residuals就是诸多近似方法中的一种。伽辽金法,是由俄国工程师伽辽金Galerkin于1915年提出来的。它是里兹∞tz变分法的推广,但是仍然属于加权残值法,只不过这里所要介绍的伽辽金法,并不像变分法中那样,要求试函数必须满足所有的位移和力的边界条件,因而适应范围更广。它的基本原理如下1.选取试函数设某一典型问题的控制方程和边界条件分别为£缈一厂10∈r 2.3.1占矽一h一0∈S 2.3.2假设方程2.3.1的基函数∥包含n个待定参数,即W·∑q嘶“,屯,,%, 2.3.3罚2.选取权函数;权函数取其基函数,即妒-w,“,而,,‰, i-1,2,,n2.3.43.代入基本方程、列出残值表达式并消除残值这样伽辽金法的计算公式为Cj醒dV一0, O-1’2,,n2.3.5显然残值方程和试函数的每一个基函数正交。正是这~性质,保证了伽辽金法的收敛性,而且精度较高,计算工作量不大,本题只取一个点,即m-1,计算出来的所有解和其精确解相比,误差都没有超过15%。研究环形薄圆板非线性振动首要解决的是建立和求解动态冯·卡门偏微分方程。由于考虑了形变分量的非线性项,因此必然涉及到变形协调方程即相容方程,这样就构成了一对包含时间变量的耦联非线性方程,称之为动态冯·卡门偏微分方程∞yuamic yon-IQrman’s Partial Differential7第二二章计算理论Equation。环形薄圆板非线性振动控制方程即达芬方程的建立,正是通过求解动态冯·卡门偏微分方程来实现的。而动态冯·卡门偏微分方程的求解,只能给出近似解答,精确求解无法实现。为了推导动态冯·卡门偏微分方程,我们可以将静态冯·卡门方程中的挠度函数及艾瑞沁iy应力函数开拓定义到时间域上,并引入动荷载和达朗贝尔D’Alembert惯性力,同时考虑了阻尼项,即得到动态冯·卡门偏微分方程LDV4矽信,rd4p%停,r口4d呒值,f一兰%信,f%G,rja 4qo cosat一052.3.6V4妒皓,。詈%亭,fH么皤,f-。 2.3.7热算子V4-v2V2∥·熹;去;叼÷亭÷,㈣圳,6为环形薄圆板的内半径;a为外半径p为板单位面积的重量;6为阻尼系数妒呜t为艾瑞Airy应力函数;Q为外激振力频率。求解方程2.3.6、2.3.7这一对耦联非线性微分方程1假设环形薄圆板的瞬时挠度为矽厂,口,f。善Gf形p,口 2_3·8’式中;c』O为纯时间变量的函数彤p,口为振型试函数,它可以满足边界条件,也可以不满足边界条件。本论文只取一项,其试函数为四次幂函数,满足边界条件,并考虑到轴对称情况,设缈G,t·xcf缈芎-hxCtxCoc2亭2q亭4c。亭6宇8 2.3.9叩.旦s亭rslbs,s靠2将试函数2.3.8代入相容方程2.3.7中,可得到艾瑞应力函数的解析解砷,㈨“∑c12f触OJ 2·3·lo这里的正r,0为满足边界条件的新函数。
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