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外代数上复杂度为1的不可分解Koszul模的表示矩阵.pdf

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●外代数上复杂度为1的不可分解Koszul模的表示矩阵ABSTRACTEXterior algebras are algebras with strong印plication backgrouIld.It can beused in studying commutative algebras and coherent sheave categories o、他r pr伊jective spauce.But we haven’t seen a systematic study of its representation the_ory.R,ecently Guo jin yun and Eisenbud haVe described the indecomposable module8of complexity one over e斌erior algebras respectively【1】【2],starting the studying ofits representation theory.Suppose tha土the ground field k is algebr缸caUy closed.If M is an indecomp08-able shift Koszul module of complexity one over eXterior algebra,then M has arepresentation matrix of the 。c;了莩;i-三ai,。]。。c·,In【1】,Eisenbud arose a problemif the homogeneous matrices as in Theorem3.3【l】·that square to zero,what is the relatiollship among the entries of the matriIn this paper we study the preseIltation matrix of the indecomposable Koszulmodule of compleXity one over eXterior algebra.W色describe the presentation matrixof M in space with lowerlevels and ansWer the question arose by Eisenbud partly.Let k be an出gebraLicauy closed field.V be an m-dimellsionallinear spauce overk,人八y be the e七erior以gebra o、rer V.M be a indecomposable Koszul A moduleof comple【ity one,and we assume_sA【t】乌_s人【2]乌sA[1】乌s人[o】乌M_ois a minimal projective res01ution of M.Wb discuss the matriX ofand,2,and wehave the f01loWing main theorems.III硕士学位论文Theorem 3.1Let V be a 2一dimensional linear space over k,for iO,1,2,choos-ing the basis of sA H suitably,then there eist 1ine甜ly independent elements a,b inV such that the eorreSponding matriof,如ha聪乞he fDllo哦ng s口6 0Oo 6 ... 0o 6oSSTheorem 3.2 Let V be a 3一dimensionallinear space over k,choosing七hebaSis of sA嘲suitably,仁o,l,then there exis“inearly independent elements a,b,c inV such that the corresponding matrix ofhas the following 01s Q2so 岛s一1b0where o可∈L6,c,zo,且出mPM≤A产·对几乎所有的t均成立的最小的数d,.A∑蔷九称为分次代数,若对任意的i,歹,At~∈人州.M∑墨。。尬称为分次A一模,若对任意的i,歹,A;坞∈尬协对于任意整数n,定义移位模MM∑墨。蟛,其中心尬n.如果M,Ⅳ是两个分次模,o是一个确定的数,如果,是M到Ⅳ使得,A名cⅣp。的态射,则称,为一个口次态射.用∥仇od A表示有限生成的分次A一模范畴,对象集为有限生成的分次人一模全体,态射为。次模同态.一个模M∑芒。。舰称为to次生成外代数上复杂度为1的不可分解Koszul模的表示矩阵的,若存在to,当tto时尬o,且M人尬。.考虑M的投射分解_PtM§一P2M乌P1M马P0M乌M_o,若有,m∈rPHM,则称此分解为极小投射分解.若M是由i次生成的,有如上的投射分解,且PM£≥o为ti次生成的投射模,则说M有线性分解;若M为。次生成的且M有线性分解,则称M为Koszul模.由定义可知,Koszul模的线性投射分解是它的极小投射分解.如果代数人的零次单模都是Koszul的,则称人为Koszul代数.在本文中,我们假定k是一个代数闭域,V是k上的m维向量空间,人y是指V上的外代数.M是外代数上的复杂度为1的不可分解Koszul模.最近,我们和Eisenbud分别用不同的方法刻画了外代数上复杂度为1的不可分解模.我们采用经典的表示论方法,即考虑模的极小投射分解中的第一个映射对应矩阵的标准形,而Eisenbud主要是采用的交换代数的方法.这些结果部分的推广了遗传代数表示论中管范畴的理论,证明了一个m维空间的外代数上的每一个复杂度为1的Koszul模有复杂度为l的循环Koszul模作为滤链且他们位于AR箭图的齐次管簇上,这样的管簇共有Pm个正交簇[21】;郭,李和吴还证明了每一个簇可等价于一个m一1个元的多项式环上的有限维局部幂零模范畴【22】.表示矩阵对于确定模的结构无疑是十分重要的.若人是一个代数,A上投射模的态射范畴记为MD叩泸A,其对象为投射模之间的态射,_Pl_岛,两个对象,到.厂’的态射为使得下图交换的同态对9t,夕2,P1 上 马,上夕1 、【眈爿 三 足其中吼只_曩,t1,2是人一模同态,于是cD七erMDrpPA_一3.一U’硕士学位论文。;}2享i I二;掌。。。口巧∈y c·,外代数上复杂度为1的不可分解Koszul模的表示矩阵0060·。·. ● ●●a 6口的形式.这与Kr帆ec后er矩阵对的分类的相应结果是一致的[19】,它正好对应一个齐次管上的一个正则模.当出m七V3时,我们证明,存在V中线性无关的元素口,6,c使得适当P}.≤6的形式,其中o≠o∈K对i歹一1,‰∈尼,1≤i≤s一1,%∈L6,c,即b与c张成的子空间.这部分的解决了Eisenbud所提出的问题,当dim*y3时,即齐次矩阵·平方为。的必要条件是对角线上的一斜行即元素口l,Ⅲ,1≤{≤s一1全部为蛐.即对1≤i,Js,吼,州%,J1o在上述的基础上,若假设‰都不为o,记ot,J乜,j6联,,c,若有2J≤s,使得危i,≠o,同样利用qo,进行矩阵的行列变换.即改变sAh江o,1,2的基,则的矩阵“具有一560nU口,,,.。.。...。.。。。。。.。...。。。。。........一/硕士学位论文的形式。一6一口 60O0...C...0C.C0..0O06.6nnUo0外代数上复杂度为1的不可分解Koszul模的表示矩阵第二章一预备知识我们需要下面的引理引理2.1设忍是代数闭域且t,1,u2.,仇是V中t个线性无关的元素,∈·,已.,是V中的t个元素,若在外代数八y中有∑名。仇o,则在由“。,忱.,仇所张成的V的子空间中.证明见[2】.0[25】中引入了层维数向量与Loewy矩阵的概念设人∑兰。屯为分次代数,Ao垡oo,{11≤i≤几为人上的互不同构的单模,则任意有限生成的A模均有合成列o珥冬尬∈%M.用mt表示{坞一,/坞11≤歹≤r中同构于鼠的个数.定义dimM沏lj.一,m。.设人o罢oA‘M为幻次生成的有限生成分次人模,若M无投射模作为直和项,则rmMo,且M诋舰0l帆m_1.自入射代数上的模M的层维数向量定义为【25]胁M要 H銎,]三辜。≥暑l萋]凇5]中证明如果M是K。s砌模,一7一
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