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外代数上模的一类扩张问题.pdf

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第一种情况当m礼1,nkl时,即m七1。可以得到定L13.1设M,L,K/II_]5所述,N是M与L的线性扩张模,J是N与K的线性扩张模且有如上的投射分解,flj,f。J所对应的表示矩阵分别为F1J 翟’Qk。a㈨卜∽手翟’ P1 ,6厂,V厅\P2’ ■㈦b,。Q七1n,/其中pO日们,F‘’江1,2。可适当选取P2Mo P2Lo P2K,P1Mo pILo P1K,P0M0 PoL0 PoKI}CJ基,使得P2的元素都属于Lo,而P1中除TF1第一行元素属于ia,6,其它元素都属于ia。即存在七上的尼2Xm佗2阶矩阵K,使得P2Ka。第二种情况当m≤礼1,礼尼1,我们可以得到下面的定理定理3.2设M,L,K如上所述,N是M与L的线性扩张模,J是N与K的线性扩张模且有如上的投射分解,flj,f2j所对应的表示矩阵分别为、州翟如,’F2∽翟■h∞。其中pO日们,F{’待1,2。可适当选取P2Mo P2L0 P2K,P·Mo P1Lo P1K,P0M0 PoL0 PoK的基,s;126si臻6 ui臻。b “i臻椰b 、j j ; j ; Is2;6sn6 u‰。6 u踹n6 ls出。,。6s出。,mb u肄,,m。n秽铧。,m。b札辫。,m棚o秽铧。,m却b/关键词外代数Koszul模;表示矩阵二次扩张;循环长度。II‰‰;‰扣扣柏∞m动一;,∞‰嘶‰一,时件件新㈣抽㈣狮㈣抖;∽枷㈣枷枷ss㈣¨动m动m...,协㈣¨得一一;一使...肘羽嘏;鼎flI孙k硅㈤qPABSTRACTExterior algebra is a algebra,with usedwide application,but there seems nosystematic study on their representation theory.Eisenbud[11]、has done some re-search about periodic module.With other scholars,professor Guo described Koszulmodules of complexity one bY means of another ,which enriched the theoryof tube category of tame algebra[23],[24】.At the same time,a series of researchon Koszul module over exterior algebra have been done by Guo and other schol-ars[24],【31】,【34】,【35】.What’S more,in【34],he brought in minimal Koszul module ofcomplexity two which’S presentation matrix has the following bt1xtat the same time,such linear modules was callde by minimal linear module of ty’bea,band of complexity two with cyclic length n,denoted by q£a,6.JinGuo f321 has done research on the presentation matrix of the extension of twominimal Koszul modules M and L of complexity two over exterior algebra,with thepresentation matrices of M,L are Qmn,6,Q。a,6.If 0一M-÷Ⅳ-÷L o 0 is anexact serie,N is a Koszul module,and then N iS called all extension Koszul moduleof M by L,then with thethis paper we make effectsand module K of presentatN_J_N_0.then W、presentation matrice of N is㈣rea,,,们嘶0 6,.Into research on the extension of linear extension module Nion matrix Qka 6.We consider another exact serie 0-4叭脚resem~洲is鬻鼎,.We still apply the of presentation matrix to do research on twice extensionmodule.The presentation matrice structure of the extension of linear exteonIIImodule N related to the size of the column number and line number.There-fore,the presentation matrice structure of the extension of linear extbnsion moduleJ should be points situation discussion,we obtain the following important resultsThe first kind of circumstancewhen m扎1,nk1,this is mk1.we canobtain the theoremTheorem 1 let M,L,K be defined as above,N is linear extension module of Mand N7V is linea.r extension module,of N and K.and has projective mo,dules as this一州_翟如,卜∽F2N’帅0心㈣卜叭。rresponding presentation matrix of f1Jandf2J,among them,P‘日订,F‘i1,2then we can properly choose the base of P2M0 P2L0 P2K,P1M0 P1L0 P1K,PoMo PoLo P0K,such that th.e element of P2are all∈Lo,the element of P1are all∈Ln,exceptthe first line element of F1are∈La,6.This is existing ak2mn2of matrix K over k,such that P2Ka.The second kind of circumstancewhen m≤他1,几尼1.we can obtain thetheoremTheorem 2 let M,L。K be ttefine1 as above,N is linearextcnsioIl 1110tule of Mand N,J is linear extension module of N and K,and has projective modules a,s this一州FIN嘶0∞卜∽-翟嘶0如瑚卜眦orresponding presentation matrix of f1Jandf2J,among them,PiH们,F‘’i1,2then we can properly choose the base of P2Mo P2Lo尸2K,P1Mo P1Lo P1K,pMo PoLo PoK,/,s镏6s躁6 s躁。6t‰。c 勘盈2b钉躁n2b、P2I s器6s踹6 s躁t6t踹·c 钉2,m’26端nz6 I\s肄。,,bs肄。,mb s肄2,m16£肄2,mlc理2,m2b秒肄2,州.n2b/IV/,s攒6s蹋6螺汁。b 秒i臻nbI ;叫。2憾惫u出u堍肿16._‰v冀O毪b b 1,ml 枷扣b\s出。,。 s出,,m u出 ou12。,m。6乱出·,m棚nu铧·,m扣21when m忌,such that the element of日2and日1are all∈Ln,the element ofF2are all∈La,∞,the element of F1are all∈Lo,except the first line elementof F1are∈LQ,6.Key wordsExterior algebra;Koszul modules;Presentation matrix;Twice exten-sion;Cyclic length. .VI一一目录中文摘要·I英文摘要lll1.引言12.预备知识一93.模的扩张的表示矩阵··13参考文献31致谢35学位论文原创性声明与版权使用授权书37L外代数上模的一类扩张问题1.引言外代数是Grassmann在1844年发现的定义在一个向量空间V上的代数,也称为交错代数或Grassmann代数。外代数是一类有着很强应用背景的代数,在张量分析,微分几何,拓扑学,代数几何等领域有着广泛的应用[11121131。女NTam等用外代数给出了具有高阶表示维数的圈代数和新的扩张圈代数【41.An,R等用外代数来研究流形上的变分问题【5】;郭仲横借助外代数的方法给出了主不变量表达式的系统形式的推导,牛顿公式的直接证明及主不变量导数的直接证明【6】张永正,沈光宇利用外代数的工具在f71研究了Z一阶化Lie超代数的嵌入定理;·孔祥青在[8]同样的从外代数的角度出发讨论了Witt型单李超代数的问题;徐运阁在文章[9】主要考察的是外代数的Hochschild上同调群的计算方法;丁文艳在【10】处理了外代数对应的线性矩阵问题。外代数的研究必然会涉及到对外代数上模的研究,而它的模的概念是来源于拓扑学中射影空间上层和多项式环上的自由分解的研究。在文献『111中Eisenbud讨论了外代数上具有自由分解的周期模,并证明了这·类模若其贝蒂数有界则必有周期小于等于2的自由分解,并且这样的分次模其周期为1,还证明了任何具有线性Tat___f1分解的模也具有周期性。1999年Crupi和Utano在外代数上研究了对给定长度的分次理想的贝蒂数的上界f121。在此基础上,2007年他们继续研究了域K上n维向量空间的外代数的贝蒂数有上界,并给出了其上界的具体求法f13】。由此可见,外代数模范畴在各个领域中应用广泛,但对其模及其表示的研究却并不多见。其原因可能是因为当空间维数≥3时,这类代数是表示野的,而这种野的表示型代数无法对整个模的范畴进行分类【14】。外代数是一类非常重要的自入射Koszul代数。近年来越来越多的数学家开始重视对Koszul代数及其表示的研究,并取得了很多成果。【15】【16】【17】【18】。对于Koszul自入射代数,Ringel,MartinezVilla Zacharia证明了其分次AR箭图的稳定分支有ZA。。的形状【14】【19】。MartinezVilla Zacharia证明了Kosz乱f自入射代数的任意分次模的某个合冲模皆可用Koszul模逼近f191,而Bernstein Ginzberg和Soergel证明了Koszul对偶代数的导出范 .畴是三角等价的【20】,Green和Martinez-Villa从表示的角度研究了Koszul硕士学位论文代数给出对偶的Koszul模结构的刻画[21】。在这些研究中,外代数的Koszul模都起到了重要作用,但对代数模的刻画工作并不多,郭晋云等人证明了外代数上任意Koszul模具有一个由循环Koszul模构成的滤链,并证明复杂度为2的Koszul模具有一个极大的复杂度为2的子模,而这个子模具有一个由复杂度为2的极小Koszul模构成的滤链。郭晋云等人研究Koszul模所使用的方法,是研究主理想环上模的结构定理所使用的表示矩阵方法的一种发展。可以看出表示矩阵对于确定模的结构无疑是十分重要的。 .Eisenbud[22]并1]郭晋云等人[23][241分别用不同的方法研究了外代数上复杂度为l的模。部分的推广了tame型遗传代数的tube理论f25】,证明了复杂度为1的Koszul模有复杂度为1的循环Koszul模作为滤链,且它们位于AR箭图的齐次管簇上,这样的管簇共有Pm个正交簇[22][23】。郭晋云等人证明了每一个簇可等价于一个m一1个元的多项式环上的有限维局部幂零模范畴和Makcy.箭图恰好是相关群在外代数上斜群代数的箭图,并利用二维空间外代数上斜群代数得至lJtame型代数表示理论[261127]。模的扩张是模的研究中重要而有趣的工作,与导子的计算,同调群等有密切的关系【28】o研究外代数上Koszul模的重要方法是研究其所对应的表示矩阵,表示矩阵对确定模的结构十分重要。郭晋云等人研究Koszul模主要采用表示论方法,即考虑模的极小投射分解中的第一个映射对应矩阵的标准形,这也是研究主理想环上模的结构定理所使用的表示矩阵的方法。下面我们给出表示矩阵的定义并对其重要应用进行讨论。设v是K上的n维线性空间,A是v上的外代数,M是复杂度为2的不可分解的Koszul模,那么则有M的一个极小投射分解_÷ptM,写一p2M,琴’p1M,琴’pOM,琴’M_01由于外代数人只有一个幂等元因而只有一个不可分解投射模,从而在M的上述极小投射分解中有PtM1兰ntA.这样我们可以取我们分别取定PtM与忍一。M的一组基pP’p聊与p}叫p珏,所有我们可以假设五p∽n∑’jl2外代数上模的,一类扩张问题og’硝’1’。从而有心誓 旧称Ao易州t为五对应的矩阵,其中A1称为M的表示矩阵。由文献【30】可设厂n1JIa2,1A11 .I I %1l atl,1062,2at,2atl,2适当改变P1的基,文献[35】,用数学归纳法兼矩阵的初等变换N--H每A·化成下面的形式A1 【1】\、 b几1t在文献【31】中,外代数人y上一个复杂度为2的Kos2u2如果其表示矩阵具有【1】的形状,则我们称Koszul模M称为极小的。其中n,b为空间y中线性无关的元素,此时我们同样称这样的模为复杂度为2的循环长度为t的a,b型极小Koszul模。记作Q。o,b,其中t指的是循环长度。现在我们来介绍一下模的扩张问题,并设模M,L的表示矩阵分别为Qmo,6,矾n,6。Ⅳ是模M借助L的Koszul扩张模,若有正合列0一M-÷Ⅳ_L一0,且Ⅳ是Koszul模,由马蹄引理有下面的图3”D1扣卜”∞Ⅵ∽矶.∽“一;西∞●∽o∽毗““;“,J\,●I、,I\五/,,。........。..一/、IllllIllII,,oo.吣咖
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