足球比分直播

外代数上有限复杂度模的迭代扩张的表示矩阵.pdf

返回
外代数上有限复杂度模的迭代扩张的表示矩阵.pdf_第1页
第1页 / 共46页
外代数上有限复杂度模的迭代扩张的表示矩阵.pdf_第2页
第2页 / 共46页
外代数上有限复杂度模的迭代扩张的表示矩阵.pdf_第3页
第3页 / 共46页
外代数上有限复杂度模的迭代扩张的表示矩阵.pdf_第4页
第4页 / 共46页
外代数上有限复杂度模的迭代扩张的表示矩阵.pdf_第5页
第5页 / 共46页
点击查看更多>>
资源描述:
湘潭大学学位论文原创性声明本人郑重声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名日期年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名日期年月日导师签名日期年月日摘要本文主要刻划了外代数Λ ΛV 其中V是代数闭域k上的3维向量空间上复杂度为2的极小Koszul模的迭代扩张的表示矩阵.设M是一个代数Λ模, P1 f P0 M 0是其极小投射分解的前两项,若取定自由模P0和P1的基,则可使态射f对应于一个元素属于Λ的矩阵A aij,此时称A为模M的一个表示矩阵.对于外代数上复杂度为1,循环长度为m的线性模M和复杂度为2,循环长度为n的极小Koszul模N,可适当选取它们的极小投射分解的前两项的基,而使它们的表示矩阵分别为T1m a ????????aa2;1 a... ... ...am;1 am;2 a????????mm和TT1n a;b ????????ab ab ... a... b????????n1n;其中a; b; aij是V中的元素,且a与b是线性无关的.对于复杂度为2的Koszul模N, 0 N1 N2 Nr N是其子模链,若存在循环长度为n1,复杂度为1的不可分解Koszul Λ模M1,循环长度为ni,复杂度为2的极小Koszul Λ模Mi 2 i r,使得M1 N1;Mt NtNt?1 2 i r,则N是模Mi 1 i r的r 1次迭代扩张.我们指出,适当选取N的极小投射分解中投射模的基,使得ftN对应的矩阵为At Ati;j ???????????Ttn1 aKt2;1bLt2;1c TTtn2 a;bKt3;1bLt3;1c Kt3;2bLt3;2c TTtn3 a;b... ... ... ...Ktr;1bLtr;1c Ktr;2bLtr;2c Ktr;3bLtr;3c TTtnr a;b???????????;其中1 j i r; Kti;j kti;ju;v; Lti;j lti;ju;v 2 knitnjt?1;而且I通过证明,我们可以使得K1i;j ????????k1i;j 1 k1i;j 2 k1i;j nj0 0 0... ... ... ...0 0 0????????ni1nj;且当j i 1; i 2; i 3; j 2时,K2i;j ????????k2i;j 1 k2i;j 2 k2i;j nj 10 0 0... ... ... ...0 0 0????????ni2nj1当j 2且j i 2;i 3时,我们还刻划了L1i;j可能的简化形式.对于j i 2,可以分为6种不同情形,而对于j i 3,可以分为24种不同情形.我们对这些情形分别进行了刻划.关键词外代数;线性模;模的迭代扩张;表示矩阵IIAbstractIn this paper, we study the presentation matrix of the iterated extensionof linear modules of complexity 2 over ΛV, which is an exterior algebra of3dimensional vector space V.Let M be an Λmodule, P1 f P0 M 0 is part of a minimal projectiveresolution of M. If we choose a basis of the free module Pt for t 0; 1, then weassociate to f a matrix A aij with aij 2 Λ, and the matrix A aij is calleda presentation matrix of M. If M be an indecomposable Koszul Λmoduleof complexity one with cyclic length m, N be minimal Koszul Λmodule ofcomplexity two with cyclic length n, then we have the presentation matrices ofM; N areT1m a ????????aa2;1 a... ... ...am;1 am;2 a????????mmandTT1n a;b ????????ab ab ... a... b????????n1nrespectively, a; b; aij 2 V and a; b are linear independent.Let N be Koszul Λmodule of complexity two, 0 N1 N2 Nr N be a ?ltration of N, we have M1 be an indecomposable Koszul Λmodule ofcomplexity one with cyclic length n1, Mii 2 be minimal Koszul Λmodule ofcomplexity two with cyclic length ni, such that M1 is isomorphic to N1 and Mt isisomorphic to NtNt?1 for i 2; ; r, then N is r 1th iterated extension ofMi for 1 i r. If we choose the basis of the free module in minimal projectiveresolution of N, we prove the matrix of ftN isAt Ati;j ???????????Ttn1 aKt2;1bLt2;1c TTtn2 a;bKt3;1bLt3;1c Kt3;2bLt3;2c TTtn3 a;b... ... ... ...Ktr;1bLtr;1c Ktr;2bLtr;2c Ktr;3bLtr;3c TTtnr a;b???????????;IIIKti;j kti;ju;v; Lti;j lti;ju;v 2 knitnjt?1 for 1 j i r; and weprove K1i;j has the following K1i;j ????????k1i;j 1 k1i;j 2 k1i;j nj0 0 0... ... ... ...0 0 0????????ni1nj;for 2 j i rK2i;j ????????k2i;j 1 k2i;j 2 k2i;j nj 10 0 0... ... ... ...0 0 0????????ni2nj1For j i 2;i 3 and j 2, we also prove the simple of L1i;j , there are6 cases for j i 2 and 24 cases for j i 3, we prove every case respectively.Key words Exterior algebra; Linear module; Iterated extension of modules;Presentation matrix.IV目录第1章引言............................................... 1第2章预备知识...........................................11第3章模的扩张的表示矩阵..............................183.1表示矩阵的i;i 2块.................................183.2表示矩阵的i;i 3块.................................25参考文献.....................................................41致谢........................................................44第1章引言19世纪40年代, Grassmann在线性空间上引入了外代数.设V是域k上的向量空间, TV k V V V 是V上的张量代数,令I是TV中由fx xj 8 x 2 Vg所生成的理想, V上的外代数定义为商代数ΛV TVI.外代数在许多领域得到了广泛的应用,如数学物理,微分形式的研究和计算,张量分析[1 2]以及用它研究流形上的变分问题[3]等等.另外,在量子群,代数几何,代数拓扑等领域也发挥着重要的作用[4 7].1978年, BersteinGelfandGelfand证明了射影空间上凝聚层的有界导出范畴DbcohPm?1与外代数上的有限生成分次模的稳定范畴grmodV的等价[8], Eisenbud; Floystad和Schreyer用BGG对应将外代数上的分次模与射影空间上的层联系起来,得到了层的上同调计算的有效方法,同时用该方法还研究了外代数上的极小自由分解[9]; Rouquier指出一个n维空间上的外代数的表示维数为n 1,给出了表示维数大于3的第一个代数的例子[10].外代数是一类有限复杂度自入射Koszul代数, 2002年Eisenbud对外代数上的周期模进行了研究,并用交换代数的方法对外代数上复杂度为1的不可分解模进行了刻划[11].而郭及其学生则用经典表示论的方法对外代数上复杂度为1的Koszul模进行了刻划,且推广了遗传代数表示论中管范畴的理论.郭、万和吴证明了外代数的任意Koszul模有一个由循环Koszul模构成的滤链[12],郭、吴和吴证明了复杂度为2的Koszul模具有一个极大的复杂度为2的Koszul子模,而这个子模具有一个由复杂度为2的极小Koszul模构成的滤链[13].代数Λ上投射模的态射范畴记为MorphPΛ,其对象为投射模之间的态射f P1 P2,且对象f到f′的态射是使下图交换的同态对g1; g0,P1 f P0 g1 g0P′1 f′ P′0,其中gi Pi P′i;i 0; 1是Λ 模同态. Coker MorphPΛ modΛ;f Cokerf是一个函子,对于Λ模M的极小投射分解的前两项P1 f P0 M 0,则有Cokerf M,从而导出一个等价G MorphPΛR modΛ,其中R是MorphPΛ上的一个关系[15]第IV章命题12.取定自由模的基,可使态射f对应于一个元素属于Λ的矩阵.在此基础上,研究代数上的模可以转化为研究其所对应的表示矩阵,该矩阵也是模的投射分解中第一个映射对应的矩阵.郭、万和吴在[12]中证明了,对于代数闭域上的线性空间V上的外代数的Koszul模M,令 atΛ[ t] ft a1Λ[ 1] f1 a0Λ[0] f0 M 0是它的一1个极小投射分解,则适当选取a1Λ[ 1]和a0Λ[0]的基可使其表示矩阵具有????????A11A21 A22... ... ...Aa0;1 Aa0;2 Aa0;a0????????a1a0的形式,其中Aij1 j i a0的元素都属于V, Aii ????????wi;1wi;2...wi;qi????????qi1,wi;1; wi;2; ; wi;qi是线性无关的且q1 q2 qa0 a1.郭、万和吴证明了代数闭域上的外代数的复杂度为1的不可分解Koszul模M的表示矩阵可以写成T1n a ????????aa2;1 a... ... ...an;1 an;2 a????????nn11的形式[12].郭、吴和吴证明了复杂度为2的不可分解Koszul模N的表示矩阵可以写成FN ????????A0A11 A1... ... ...Ar;1 Ar;2 Ar????????12的形式,其中A0具有11的形式,而当i 1时, Ai具有TT1ni a;b ???????????aibi aibi ...... aibi???????????ni1ni13的形式其中ai; bi是V中线性无关的元素 [13].形如2TT1n a;b ???????????ab ab ...... ab???????????n1n的表示矩阵的模称为复杂度为2,循环长度为n的a;b型极小Koszul模,并指出这样的模是复杂度为2的循环Koszul模Λa;b的n 1次合冲模[13].对于二维空间的外代数,其表示理论与Kronecker代数类似,是Tame问题.而当维数 3时,这是一个野表示型的问题,对它的模的分类是非常困难的.本文假设k是一个代数闭域, V是k上的3维向量空间, a; b; c是V的一组基,Λ ΛV是V上的外代数,其复杂度为0的模恰为投射入射模,而复杂度为1的Koszul模已在[13 14]中刻划,在[13]的基础上郭的学生从扩张的角度用表示矩阵的方法研究了复杂度为2的一些不可分解模.郭锦和黄启艳分别研究了两个复杂度为2的极小Koszul模M ?m?1Λa;b与N ?n?1Λa;b,M ?m?1Λa;b与N ?n?1Λa;c的线性扩张问题[16 17];方强讨论了a;b型单列线性模的非线性扩张问题[18];付娇主要研究了循环长度不同的a;b;c型t或s线性模的非线性扩张问题以及循环长度为m的复杂度为2的a;b型极小线性模与循环长度为n的复杂度为1的a;b;c型t线性模的非线性扩张问题,李思在此基础上对这两类模的线性扩张作了研究[19 20];肖圣杰研究了复杂度为2的极小Koszul模M ?m?1Λa;b与一个一次生成模L之间的非线性扩张[21];王影对循环长度为m,复杂度为2的a;b型极小Koszul模与一个一次生成的循环长度为n,复杂度为2的a;b型线性模的非线性扩张作了研究[22];另外,黄海松和谢春连还对模的二次迭代扩张的问题作了研究[23 24]等等.本文研究了一类复杂度为2的不可分解Koszul模的结构.根据[13]复杂度为2的Koszul模可视为由一个复杂度为1的模和一系列复杂度为2的极小Koszul模迭代扩张得到的,且本文讨论的所有复杂度为2的极小Koszul模皆为a;b型线性模的情形.我们可以假设N是循环长度为n1,复杂度为1的不可分解Koszul Λ模M1,循环长度为ni,复杂度为2的极小Koszul Λ模Mi2 i r;r 2 Z;r 3的r 1次迭代扩张得到的复杂度为2的Koszul模,这时N有一个子模链0 N1 N2 Nr N,使得M1 N1;Mt NtNt?1 2 i r,我们考虑N及其合冲模的表示矩阵,即在N的极小投射分解中,映射在取定投射模的基之下的矩阵.文中设M1是循环长度为n1,复杂度为1的不可分解Koszul Λ模,极小3投射分解为 PtM1 ftM1 P2M1 f2M1 P1M1 f1M1 P0M1 f0M1M1 0. Mii 2是循环长度为ni,复杂度为2的极小Koszul Λ模,对应的极小投射分解为 PtMi ftMi P1Mi f1Mi P0Mi f0Mi Mi 0.这时ftM1;ftMi所对应的矩阵分别为Ttn1 a ????????aa2;1 a... ... ...an1;1 an1;2 a????????n1n1;TTtni a;b ????????ab ab ... a... b????????nitnit?1将N的表示矩阵按其对角块的大小进行分块.设 PtN ftN P1N f1N P0N f0N N 0是N的一个极小投射分解,通过适当选取投射模的基,我们证明了ftN对应的矩阵可以写成At Ati;j ???????????Ttn1 aKt2;1bLt2;1c TTtn2 a;bKt3;1bLt3;1c Kt3;2bLt3;2c TTtn3 a;b... ... ... ...Ktr;1bLtr;1c Ktr;2bLtr;2c Ktr;3bLtr;3c TTtnr a;b???????????的形式,这里Kti;j kti;ju;v; Lti;j lti;ju;v是域k上的矩阵.用kmn表示域k上的m n阶矩阵的全体.文中证明了当2 j i r时, K1ij具有如下形式K1i;j ????????k1i;j 1 k1i;j 2 k1i;j nj0 0 0... ... ... ...0 0 0????????2 kni1nj;4
展开阅读全文
收藏
下载资源

加入会员免费下载





足球比分直播