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资源描述:
we obtain in§4.2 the semigroup generated by these operators for a class of completelyregular semigroups which are sturdy seinilattices of completely simple semigronps.In§4.3,we depict the partially ordered set{p,pL,··using a diagram.At last,wp,JVea problem of M.Petrich and N.R.Reilly,that is,the mapping P’PGP∈csisnot a nhomomorphism,where PG is the least congruence on S with the same globalas P.Key Words semigroup,completely regular semigroup, ,ougrueuee、lst,ticeof congruences,relations.738508完全正则半群上的同余及其同余格本学位论文所论课题的研究工作得到以下基金的资助曲阜师范大学科研基金x.102003曲阜师范大学科研基金xJoa004研究生姓名 刘靖国学科、专业 基础数学研究方向 半群代数理论指导教师 孑L祥智完 成时间 2㈨5年4月10日前 言在半群这一代数领域内,正则半群以其结构“正则性”的丰富内涵而居于半群代数理论研究的中心位置.而逆半群和完全正则半群作为两类重要的正则半群,其研究近几十年取得了很大的成就,得到了许多优美结论,成果颇丰.特别是关于后者的专著“Completely Regular Semigroups”1999年版,系统地介绍了完全正则半群的基本理论以及至上世纪九十年代末该领域的最新研究成果,收录了包括该书作者M.Petrich和N.R.Reilly在内人们大量的研究工作,并指出这一专门领域进一步发展的方向.作为半群代数理论的一个重要研究对象,最早在1941年就出现关于完全正则半群当时叫群并的论文,当前一些最新研究成果,特别是M Petrich和N.R.Reilly等人于近期发表的论文见参考文献,恰好验证了人们对于完全正则半群的研究方兴未艾,还有很多问题值得人们去思考.我们知道,研究一类半群,一方面通过考察半群的内部构件如理想、同余及特殊元素等来研究半群的基本特征和构造,另一方面也从半群的外部环境如同余格等出发来研究半群的内部结构关系.对于完全正则半群,研究同余和同余格,无疑对透彻理解一般或特殊完全正则半群的基本特征和结构有所裨益.首先,任何半群上的同余能提供它的同态象的某些信息,有时还可以说明半群自身的结构.其次,完全正则半群的一些重要结构理论基于半群上某些特殊同余的知识内容,如完全正则半群的一个基本特征是完全单半群的半格,就是基于完全正则半群上的Green关系D是最小半格同余.再次,一般完全正则半群上的不同类型同余的研究,也能提供不同完全正则半群类,特别是完全正则半群簇的可能结构理论的有益信息.最后,已知结构的完全正则半群上的同余的确定能够帮助我们深刻理解其本质特性.正是在此背景意义下,本论文的作者相当艰苦地啃读了“Completely RegularSemigroups”这本书,深深为该书精深内容及精辟见解所吸引,尤其对书中提出的一些问题产生了兴趣.作者的导师孔祥智先生建议从这些问题中寻找自己的研究主题,以问题集中且贯穿全书内容的同余理论作为作者的研究生论文课题.展现在这儿的就是作者在搜集整理相关文献资料的基础上,在导师指导下完成的关于完全正则半群上的同余及其同余格的学位论文,其中部分成果是导师和作者合作得到的.第一章基本概念§L1 定义,术语和记号一个半群称为完全正则的,如果它的H.类都是其子群.完全正则半群S的一个基本特征是完全单半群&的半格y,常记作y;.下文中的S若非特别说明都代表完全正则半群.对n∈S,o所在最大子群为Hao的M一类,ao表示玩的单位元,a“表示上k中a的群逆元.用ES表示s的幂等元集合,CS表示s的同余格.对P∈CS,kerp{n∈S1 apa”,trpPIES分别称作P的核与迹.若kerpES,称P是幂等元纯同余.最大的幂等元纯同余记为r.若trpE,E表示ES上的恒等关系,称P是幂等元分离同余.用灿表示s上的最大幂等元分离同余,则“Ho,其中70表示含于等价关系1的最大同余.另外,对S上的任意二元关系P,用P表示由P生成的S上的同余,是包含P的最小同余.对,P∈cs,下列K.T关系分别是cs上的核关系,迹关系,AKP甘kerpker、铮Pn 7-1An钾.、TP铮trptrA铮PV 7-1VH.s上的任意同余被它的核和迹唯一确定,即引理1.1.1[42,Lemma VI.3.1】 对任意P∈cs,有aPb静aotrpbo,ab_1∈kerpa,b∈S.下面的引理给出S上的Green关系.引理1.1.2[42,Lemma II.3.6】 对任意a,b∈S.有fil a“b§a0bo.fiil aC b甘aabo,bbao.fiiil a冗b铮abOa,baOb.引理1.1.3[42,Lemma II.2.4】 令s是完全正则半群, T是半群,∞ST是同态. iSp是完全正则的.ii对任意a∈S,n一1妒。妒一1,no妒n妒o.从而对P∈cs1iii若aPb,则a。Pb~,aopbo.本节的一个重要概念是完全正则半群簇.完全,vN半群可以看作是具有一个二元运算乘法和一个一元运算群逆的由下列恒等式定义的代数簇xyzxyz,XXX一127,,ZX 1x-lxjX-I一1z用CT己表示该簇,CTl的所有子簇赋以包含关系偏序构成完备格cc咒.该簇的子簇称为完全正则半群簇.令4是一类半群,P∈cs,称P是A一同余,若s/p∈A.若■是完全正则半群簇,纵表示S上的最小■.同余,则PA存在.下面列出一些常见完全正则半群簇,最小簇同余及其记号表示.完全正则半群簇 符号表示 最小簇同余平凡半群 丁P7或“J左零半群 Cz Pcz右零半群TCZ PRz半格8 p.s或D矩形带 冗8 pR8左正规带 cNB Pf一2,B右正规带TwVB PTC.,VB正规带 ⅣB PX8左正则带 CTCB PnnB右正则带TzI“CB PRRB左拟正规带 CQ厂昭P£QNB右拟正规带TCO_./V“B 腿QⅣB正则带 7zeB p74。8带 13 PB或口群 9 P6或口矩形群 舭g Pn。o完全单半群 C8 pcs或0Cifford半群 s9 PS6或”群带 Bg PB6正规群带 Ⅳ召岔PXBg左正规纯整群并c.厂0 PcArO左拟正规群带 £蝴岔PcQ.,VBg3正则群带左正则群带纯整群并正规纯整群带正则纯整群带冗BgC冗8岔o0』BG宠D8岔接下来给出一些完全正则半群簇的等价刻画参阅文献【11,42]引理1.1.4 关于S的下列条件等价.iS是群带,即州是同余.iiS是群的带.iiiS满足等式aboa060o.引理1.1.5 关于S的下列条件等价.iS是纯整的,即ES是s的子半群.iiS满足等式ooboaob0o.引理1.1.6 关于S的下列条件等价.is是ctiffo砌半群,即ES合于S的中心.iiS是群的r强J半格.iiiHD.ivS满足等式axoxOa.关于Clifford半群的结构可如下描述参阅文献{35].令y是半格.对任意血∈¨令G。是群使得G。n G口0,若Q≠卢.对n,卢∈yo≥卢,令‰.日G。一G口是同态并且假定妒n,oLG。,妒。,卢妒p,7妒a,,,若np7.在SU。∈y G。上定义运算十对a E G。,b∈G口,a十bn妒。,。口b妒口,。口.则s是一个Clifford半群,记作y;G。,妒。,口.反之,任一个Clifford半群都可这样构造.称如下定义的关系墨为S上的自然偏序,a曼b若aebbS,x}e,,∈Esa,b∈s.可以看出≤限制于ES上如下给出,e≤,甘ee,,ee,,∈Es.d卵l耋脚嘲舰阳船舳肌另外定义ES上的关系S“S,和≤d,e Si,若ee,,e≤,,若efe,e茎d,若e E sfse,f∈Es.还有S上的关系,ab若aboaoba,b E S.对于一个偏序集x,≤,设a,b∈X.记a】{z∈XI X茎。,【a{z E XI a≤。,[a,b]一{z∈Xl a曼z≤D}.本文用e和u表示任一个集合上的恒等关系和泛关系,通过上下文可以辨清它们是哪个集合上的关系.其他未说明的记号和术语均见[11,42]§1.2子直积我们知道,完全正则半群的直积和同态像还是完全正则半群,但其子半群未必是完全正则的.如整数加群z,的子半群N,就不是完全正则的. F面的引理给出了完全正则半群的子半群也是完全正则的一个充要条件.引理1.2.1[42,Lemma II.2.71 设T是完全正则半群s的子半群,则T是S的完全正则子半群当且仅当对任意a∈T,a_1∈T定义1.2.2 令S,T是半群,与直积ST的子半群日同构的半群称为s,T的子直积subdirect product,若投影7r1H_S,8,£7r1s;7r2H_T,8,£丌2t是满射.众所周知,半群日是半群s,T的子直积当且仅当存在同余A,P∈CH使得An PE,此时S望日/A,T垒H/p.需要注意的是两个完全正则半群的子直积未必是完全正则的.令STz,十,H是由{1,1,一1,一3}生成的ST的子半群,显然日是S,T的子直积,但一1,一1隹H,由引理2 1,H不是完全正则半群.但是我们有引理1.2.3 若完全正则半群H是半群S与丁的子直积.则S,T都是完全正则的.证明S,T都是完全正则半群日的同态像,由引理1 3,结论成立. ●5B.McAlister和M R.Reilly用次同态概念,讨论了两个逆半群的子直积是逆半群的情况.类似地,推及到完全正则半群,有下述定义,定义1.2.4 令s,T是两个完全正则半群,映射xsPTp的幂集,称为s到T的满次同态surjective subhomomorphism.若下列条件满足.i对任意s∈S,sx≠0.ii对任意s1,82∈s,8182X垦sls2XiiiU。∈s sxT.iv对任意s∈S,t∈T,若t∈sx,则t以∈s-1X.该定义的意义体现在下述定理,定理l-2.5 令S,T是完全正则半群, 是S到T的满次同态,则ns,T,“s,t∈S X TI t∈sx}是s与T的子直积,是一个完全正则半群.反之,同构于S,T的子直积的任一个完全正则半群都可以这样得到.证明 IIiis,T,x是ST的予半群由定义2,4ii可证.令“7r2分别是从Ⅱ到s,T的投影.任取s∈S,由i至少存在f∈sx,从而s,t∈II,8,t7rls.这样Ⅱ7r1S,由iii类似可证明Ibr2T.这就是说n是S.丁的子直积.对s,t∈Ⅱ,8,t在完全正则半群s X T中的群逆元为s~,t-1,由iv,显然s~,t-1∈n.由引理2.1,Ⅱ是完全正则半群.反之,对任一个同构于S,T的子直积的完全正则半群n,定义映射xSP丁,s一{t∈Tl8,t∈Ⅱs∈S由于Ⅱ是S,T的子直积,对任意8∈S,总存在t∈T使得8,t∈II,从而t∈sx、这样条件i满足.若tl∈six,t2∈s2x,由x定义,81,t1,82,t2∈n,由于Ⅱ是子半群,当然sls2,tl£2∈II,于是tlt2∈81s2x.从而slXs2x垦s1.s2x,这样条件ii满足.对任意t∈T,由于Ⅱ是S与丁的子直积,必然存在某个8∈S,有s,t∈II,即t∈sx,故T∈U。。s sx,反包含显然,这样条件iii是满足的. Ⅱ是完全正则半群,由引理2.1,条件iv显然满足. 一定义1.2.6 若半群S,T有相同的同态像H,且咖s一日,砂丁一Ⅳ是到日的满同态.则关于H,西,砂的s与T的织积spined product定义为yIIH,≯,砂{s,t∈s X TI 5cit妒.任取s∈S,则s西∈日.由于妒是r到H的满同态,则存在t∈T使得6tVJs驴,这样s,t∈Y.因而投影7r1Ys是满射.同样可证明投影7r2Y,T也是满射.因此y是S,T的子直积.这样有引理1.2.7 半群S,T的织积是S,T的子直积.推论L2.8 半群S,丁的关于日,≯,砂的织积y是完全正则半群当且仅当S,T都是完全正则的.证明由引理2.3,2.7,必要性成立.充分性.y是S X T的子半群,而ST是完全正则的,由引理2.1,只要证明对8,t∈Y,其群逆元s,t_1s~,t_1∈Y.即要证明S--1曲t_1护由于s≯劬,当然s≯-1劬~,由引理1 3,有S-1咖t-1妒. 一下面的引理在处理有关半群的子直积何时与织积等价时是有用的.引理1-2.9 令V,W∈Cc冗,S是半格簇.若s∈V,S∈w.则S是y.半群和W.半群的子直积当且仅当S是V.半群和W一半群的织积.证明充分性显然.反之,若S是V一半群和W一半群的子直积,则存在同余A,p∈cs使得A 71Pe,此时s/A∈V,s/p∈W.这样pv nPwE.故s也是S/pv和S/pw的子直积且映射妒n一apv,apwn∈s是S到S妒的同构.由已知条件, pv∈口,Pw∈71.再令Sy;SA可记s/pvy;/Pv。,其中pv。pvls。;5/pw一y;so/Pw。,其中pw。pwI.令庐,妒分别是彤卯,s/f狮到y的自然同态,当然这是满射.令。∈,显然对S妒的一个元apv,oPw,作为n的同余类而言apv∈o,li,apw∈aD.于是apv≯Qapw.这样s妒是关于¨≯,砂的s/pv与S/pw的织积即S星{apv,apw∈酬Pv X彤PwI apvnpw“小一本节的一些概念和结论在下一节是有用的,我们用来处理一些新问题.§1.3纯覆盖Petrich在文献[26】介绍了所谓纯正则半群.称正则半群s是纯的pure,,若对e∈ES,n∈S,。≥e或n S e都蕴涵n∈ES上述定义中的n≤e条件可去,因为若a S e,则存在,,9∈ES使ne,ge,从而“2口ee,79e,n.厂a,这样a E Es.设S,丁是半群,称映射毋s一丁是纯的.若。曲∈ET蕴涵a∈ES.引理1.3.1[26,Lemma 2.5] 令币sT是正则半群间的满同态,若曲,T是纯的,则S也是纯的.引理1.3.2 若≯sr是正则半群间的纯同态,则石是s上的幂等元纯同余.反之,若P是S上的幂等元纯同余,则自然同态p4sS/p是纯同态.证明容易,略. ●下面引入纯覆盖的定义来研究一些特殊结构的完全正则半群.定义1.3.3 令S,T是完全正则半群,称S为丁的纯覆盖咖tzm cⅢMJ.若S是纯的,且存在纯满同态西ST.回忆上一节次同态的定义,我们下定义1.3.4 令S是完全正则半群,e是完全单半群,称S到a的满次同态x是纯的,若x还满足下列条件.iVs∈S,sxn EC≠O}s E Es.iiU。∈Efs、eX垦EC.注意上述定义中的条件ii等价于U。。EfsexEG.这是因为,若,。EEa,由次同态定义,f E U。∈s sx.即存在s∈S使得f∈sx,这样.xnEC≠0,由i,8∈Es.故,∈U。∈驯sex.于是EC∈U。∈Esex.定理1.3.5 令S是完全正则半群,若存在完全单半群C和从S到C-的纯满次同态X,则nS,C,x是S的纯覆盖.证明由定理2,5,IIns,C,x是s与c的子直积,是一个完全正则半群.令s,C∈II,e,,∈EⅡ,e,f≤8,c.要证明s,CE E兀.先给出引理1.3.6 设IIns,T,x是定理2.5中的完全正则半群对81,t1,82,t2∈Ⅱ,有81,t1≤82,t2号s1≤82t1 S t2.8
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