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网络上具有人口动力学行为的传染病模型分析.pdf

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中北大学学位论文摘要随着社会网络的发展,由地域差异和人口流动形成的人口结构所呈现的网络特征日趋显著,研究基于复杂网络特征的传染病模型具有十分重要的现实意义。基于复杂网络的传染病模型是把传染病行为利用网络加以描述,根据疾病的发生、发展及环境因素变化等,建立能反映传染病变化规律的数学模型,然后对传染病进行深入的研究和分析,研究对其进行预防和控制的最优策略,为传染病的防制决策提供理论基础和数量依据。本文根据实际情况针对复杂网络中个体的出生、死亡、迁移等人口动力学因素会对传染病的传播有重要影响,利用传染病动力学、复杂网络以及微分方程定性和稳定性等相关理论和研究方法建立了三种基于复杂网络的传染病模型,并对系统的稳定性进行严格深入的分析讨论和数值模拟。首先,给出了基于复杂网络具有常数出生的传染病模型,使用常微分方程在演化网络上建立了一个SIS传染病模型,通过计算系统在无病平衡点的雅克比矩阵推出系统的基本再生数,并分析了系统在无病平衡点和正平衡点的稳定性,然后对系统进行数值模拟证实稳定性分析的准确性。其次,给出了基于复杂网络具有Logistic出生的传染病模型,采用谱半径的方法计算出系统的基本再生数,并分析了系统在无病平衡点和正平衡点的稳定性。然后,例举度为2的传染病模型,计算其基本再生数,并对其进行数值模拟证实稳定性分析的准确性。最后,给出了基于复杂网络具有常数出生和时滞的SIR传染病模型,通过构造Θ函数计算出模型的基本再生数。讨论了时滞对无病平衡点稳定性的影响,也分析了在无病平衡点处的稳定性。然后通过构造Lyapunov函数分析证明了正平衡点的稳定性。最后,对系统的稳定性和时滞对系统稳定性的影响做了数值模拟。关键词复杂网络,时滞,出生死亡,Logistic,迁移,基本再生数,稳定性,SIS模型,SIR模型第I页中北大学学位论文ABSTRACTWith the development of the society, it is remarkable to the characteristics of networked of the population structure, which based on regional di?erences and population?owing. The research of infectious disease models plays a signi?cance role in practical basedon complex network.These models described by the occurring, evolution and environmental factor of infec-tious disease, which based on complex network. Establishing the mathematical model re?ectthe regular transation of disease. The optimal strategy for preventing and controllingthe disease according to deeply research and analysis in order to provide the theory basisand data basis for infectious diseases.According to the actual situation from the transmission of infectious diseases, the impor-tant in?uence for individuals on complex networks with the factors of population dynamics,such as birth, death, migration and time delay. On complex network, three models areestablished with using the theory and researching ways of dynamics of infectious disease,complex networks and qualitative and stability of di?erential equations. The stability of thesystem researched by the deeply analysis and numerical simulation.Firstly, an SIS model with constant-ting based on network is discussed. The basicreproduction number is calculated by the Jacobi matrix along to the disease-free equilib-rium of systems, and analyzed the stability of the disease-free equilibrium and the positiveequilibrium for the system. Finally, con?rming the accuracy for the stability of system withnumerical simulation.Secondly, an SIS model with Logistic-ting based on network is discussed. The basicreproduction number is calculated by the way of spectral radius for the system, and analyzedstability of the disease-free equilibrium and the positive equilibrium for the system. Finally,taking an example with the degree with 2 for con?rming the accuracy for the stability ofsystem with numerical simulation.Thirdly, an SIR model with proportion-ting and time delay based on network is第II页中北大学学位论文discussed. The basic reproduction number is calculated by structuring a Θ function of thesystem. The in?uence of stability is discussed for disease-free equilibrium with time delay.Furthermore, the stability of positive equilibrium is proved with structuring a Lyapunovfunction. Finally, con?rming the accuracy for the stability of system and the stability oftime delay in?uencing though numerical simulation.Key wordscomplex network, time delay, birth-death, Logistic, migration,basic reproduction number, stability, SIS model, SIR model第III页中北大学学位论文目录摘要IABSTRACT II第一章引言11.1课题背景. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2国内外研究现状. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1复杂网络的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2典型网络模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3网络传染病模型研究动态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3本文的主要工作. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4创新点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8第二章基于复杂网络具有常数出生的传染病模型92.1模型建立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2模型介绍. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3无病平衡点的稳定性分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4正平衡点的稳定性分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5数值模拟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15第i页中北大学学位论文第三章基于复杂网络具有Logistic出生的传染病模型173.1模型建立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2模型介绍. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3基本再生数Rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4稳定性分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5数值模拟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22第四章基于复杂网络具有常数出生和时滞的SIR传染病模型274.1模型建立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2模型介绍. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3基本再生数R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4稳定性分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5数值模拟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34结束语37参考文献表39攻读硕士学位期间发表的论文及所取得的研究成果45致谢46第ii页中北大学学位论文第一章引言从20世纪90年代以来,网络行为逐渐成为人们工作、生活、学习、娱乐、社交等必不可少的模式。这里所说的网络行为包括社交网络行为、通信网络行为、计算机网络行为、电力网络行为等。但是,人类社会的网络化也成了一把“双刃剑”。它既给人类社会的生产与生活带来了极大便利,也提高了人类的生产效率和生活质量。同时,也给人类社会的生活带来了许多负面冲击,如繁杂的社交网络导致传染病的快速传播,发达的计算机网络导致计算机病毒的泛滥,不完善的通信网络导致违法犯罪事件的发生,复杂的电力网络导致大面积的停电事故等。因此,日益网络化的人类社会需要对各种人工的和自然的复杂网络行为有更深刻的认识和了解,合理合法利用身边的网络,逐渐完善各种网络行为,坚决与违法利用网络的行为作斗争,保证各种网络行为的正常稳定运行。随着社交网络的复杂化和效率化,突如其来的传染病会给这样的社交网络带来沉重的打击,在传染病灾难面前人类显得无比的渺小。如鼠疫、麻风病、肺结核、艾滋病、西尼罗河病毒、流行性感冒病毒、天花、非典型肺炎等都曾不可一世,造成的伤亡不可估量。所以,传染病仍然是当今世界所面临的一个严重问题。在世界各地,许多学者都热衷致力于研究各种传染病的机理、预防措施以及控制措施的课题,取得了各种各样的辉煌成就。基于复杂网络的传染病动力学是把传染病行为用网络加以刻画描述,并根据疾病的发生机理、发展规律及环境变化影响等情况,建立能反映其真实行为规律的数学模型,通过对模型的动力学性态研究来分析疾病的发展规律,预测其传染规律和发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素。从而,寻求对其进行预防和控制的最优方案,为人们防制策略提供理论基础和数据依据。之前,基于复杂网络的传染病模型也有许多的优秀成果。但这些传染病模型的建立都比较理想化,与真正的传染病所处环境因素有所差距。近期,一些学者研究的传染病模型逐渐向实际靠拢,大概有三个发展方向传染病模型所涉及的因素增多,例如考虑人口变动、空间上的传播、时滞因素、年龄结构、隔离影响等;传染病模型维数的增高,考虑疾病在多个群体中的传播和交叉感染;结合某些具体的传染病特征进行更为细致深入的建模研究。第1页中北大学学位论文x1.1课题背景从局域网到万维网,从地方电力网络到大型电力网络,从城乡交通网络到全球交通网络,从种群生物网到自然界生物链网络,从家庭关系网到全球社交网等。可以说,人类已经生活在一个充满着由各种各样网络所组成的复杂网络世界中。复杂网络理论所要研究的则是把各种看上去互不相同的网络之间的共性和特征进行处理的普适方法。从20世纪末开始,各行各业的学者对复杂网络的研究渗透到数理学科、生命学科以及工程学科等诸多不同的领域。对复杂网络的定量与定性特征分析的科学理解,已成为网络时代科学研究中一个极其重要的、也是极具挑战性的课题。众所周知,在传染病灾难面前人类显得无比的渺小,不仅会给国计民生带来巨大灾难,更会危害人类的身体健康甚至是死亡。纵观人类发展的历史,人类历史上经历了诸如流感、雅典瘟疫、鼠疫、结核病、狂犬病、登革热、天花、艾滋病、西尼罗河病毒、霍乱、埃博拉病毒、口蹄疫、疯牛病到最近暴发的非典型性肺炎、禽流感等传染病,这些传染病的每次到来都曾经是多么的不可一世,波及了世界上的众多地区,不仅夺去了难以预计的生命,而且那种死神来了的恐惧、恐慌对人类的精神、生活、财产带来了不同程度的影响。虽然,人类与传染病在长期的斗争中取得了辉煌的成果。然而,现实却告诉我们,在大自然面前人类的力量仅能跟班前进,要消灭一种传染病都是一件非常困难的事如北京市卫生局2009年1月6日通报一例人感染高致病性禽流感致死病例,说不准哪天就会卷土重来,更不用说治理那些突如其来的、无法预知的传染病。因此,人类要时时刻刻吸取自然界带来灾害的深刻教训,要不断改善被破坏的大自然生态系统、全球变暖的气候、退化的环境、频繁的国际旅行、改变的经济模式等因素,减少新传染病产生的机会,降低已有的或者新的传染病传播机会,而且也可以降低曾出现病毒或细菌发生变异的概率。人类生命健康正面临着严峻考验。人类要稳定健康地向前发展,就必须要有思想上的进步和科技上的进步。思想上,要对自然界充满敬畏感,对灾难来临时要稳健应对。科技上,要对传染病的机理高效掌握,充分研究其的影响因素等,制定合理的、必要的措施来预防,控制和消灭传染病。人类社会中存在许许多多的系统都可以用复杂网络加以描述。一个典型的复杂网络就是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的,其中节点用来代表真实系统中不同的个体,边用来表示个体间的关系。因此,基于复杂网络的传染病动力学模型就是把传染病行为用复杂网络的模式来加以描述。第2页中北大学学位论文x1.2国内外研究现状人们对周期复发性传染病的研究已经有相当长的历史,确定的和随机的传染病模型都用来研究该问题[1;2]。自从1925年Kermack和McKendrick用确定性模型研究传染病以来,确定性模型就开始作为建立和研究传染病模型的主要工具,这些确定性模型通常被人们称为仓室模型或者平均场模型[3;4]。大量的传染病模型是根据宿主所处的疾病状态划分和状态之间的转换关系来建立的。经典的传染病模型所描述的是易感者、染病者和康复者的数量。对于病程较长的传染病来说,这些模型经常忽略了自然死亡、出生、移民、迁徙等人口动力学因素[1;2;5;7]。对于疾病传播的仓室模型而言,经常把人群中的个体按其疾病所处的状态划分为不同的仓室,通常记易感者为S,他们不会传染他人,但可能会被传染;染病者为I,他们已经是患者,且具有传染性;恢复者为R,他们是被治愈或者自身恢复并获得免疫能力的人群,不再具有传染性,也不会再被感染。这些SIR模型通常由微分方程来建立,刻画了各个状态人群随着时间的推移,各个人群中个体数量的变化率。如果总人口数量为N,则N S I R,总人口数量通过出生或者移民会逐渐增大,通过自然死亡或者感染会逐渐减少,出生率和死亡率都与人口的规模息息相关。通常BN来表示包括出生和移民在内的输入率,DN表示人均自然死亡率,α表示因病死亡率,则可以建立传染病模型为N′t BN?DNN ?αI。在无病情况下,随着时间的推移人口规模会趋向于环境容纳量K。在均匀混合传染病模型中,假设易感者和染病者个体是随机接触传染的,单位时间内易感者与染病者发生τCNI次随机接触才会导致疾病的传播,其中CN表示单位时间内每个个体的平均接触次数,τ表示每次接触的传染率,则易感者个体被感染的概率为τCNIS/N。由此可以得到平均场方程?????????S′ BN?τCNIS/N ?DNS,I′ τCNIS/N ?DNI ?αI ?γI,R′ γI ?DNR.Anderson和May假设的是经典的公众接触方式CN βN,而Busenberg和van denDriessche以及Linda Q.Gao和Herbert W.Hetheote则是假设接触率CN是一个常数A。这样就可以得到两种发生率的函数双线性发生率函数和标准发生率函数[2;6]。然而,传染病的传播不仅仅与疾病的本身特性有关,还与人口动力学结构息息相关。确第3页中北大学学位论文定性模型总是假设个体同质随机分布,这就意味着所有个体都是等概率互相接触。因此,若有人被感染,则这些被感染者等概率的传染给其他的易感者,这种现象在现实中很少观察到。当人口规模很大时,个体通常只能和一小部分人发生接触,在这种结构的社交网络中因传染病传染而形成的局部关联不完全符合标准的平均场模型。为了改进这些模型中的不足之处,学者们进行了广泛深入的探索研究,复杂网络模型就是在该方向上努力的重要结果之一。最近十多年有关复杂网络模型的研究取得了伟大的进步。1.2.1复杂网络的基本概念在网络理论的研究中,复杂网络是由数量庞大的节点和节点之间错综复杂的关系构成的网络结构。用数学语言表达就是一个有着足够复杂的拓扑结构特征的图。自然界以及人类社会中存在的大量复杂系统都可以用网络加以描述。网络中的不同节点用来代表真实系统中不同的个体,而节点与节点相连的边则用来表示个体间的关系。网络分为有向网络和无向网络,在此只就无向网络进行研究。无向网络的基本几何因素有度以及分布特征,度的相关性,集聚程度及其分布特征,最短距离及其分布特征等[7]。度分布degree distribution一个节点的度是指与该节点连接边的数量。在有向网络中分为出度和入度。度值的分布特征是网络的重要几何性质。规则网络各节点度值相同,则符合delta分布;随机网络则符合泊松分布;大量实际网络存在幂律power-law形式的度分布则被称为无标度网络。度的相关性Newman把度的相关性称为“匹配模式”,含义是考察度值大的节点倾向于和度值大的点连接,还是和度值小的点连接。根据实际网络的分析,不同的网络存在不同的匹配模式,有正相关也有负相关。聚类系数clustering coe?cient用来描述图或网络中的顶点节点之间结集成团的程度的系数。具体来说,是一个点与邻节点之间相互连接的程度。在社交关系网中,你的两个朋友很可能彼此也是朋友,这种属性称为网络的聚类特性。用数学语言来讲就是对于某个节点i,聚类系数Ci被定义为节点所有相邻节点之间边的数目占可能的最大连边数目的比例。具体地,设节点i有ki条边与之相连即节点i有ki个邻居。显然,这ki个节点最多有C2ki条边,设这ki个节点之间实际有Ei条边相连,则Ci EiC2ki。显而易见,Ci是个介于0与1之间的数,Ci越接近于1,表示这个节点附近的点越有“抱团”的趋势。整个网络的聚类系数C则是所有节点聚第4页中北大学学位论文类系数的平均值。在随机网络中,由于边的分布是随机的,则C p ?k?N。平均路径长度average path length从一个节点i出发,经过与它相连的节点,逐步“走”到另一个节点j所经过的路途,称为两点间的路径。其中最短的路径也称为两点间的距离,记作disti,j。而平均路径长度average path length则定义为网络中任意两个节点之间距离的平均值,即L ∑ijdisti,jC2N .在传染病模型中,平均集聚程度对应于传染病传播的广度,平均最短距离代表传播的深度。1.2.2典型网络模型规则网络是指任何一个节点的近邻数都相同。当其中连接数量接近饱和时,聚类系数会很高,平均路径长度非常短。例如,完全耦合网络,即完全图,每两个节点之间都有相连,所以聚类系数是1,平均路径长度是1。然而,现实中的复杂网络是非常稀疏的,连接的个数只是节点数的若干倍,远远达不到饱和。如果考虑将节点排列成正K边形,每个节点只与距离它最近的2K个节点相连,那么在K比较大时,其聚类系数为Ci ? 34,平均路径长度为L ? N4K与节点数成正比。纯粹的随机网络,如ER随机网络模型,其节点的度值服从泊松分布,存在很小的平均路径长度,聚类系数也很小。但是,现实中的不少网络虽然有很小的平均路径长度,却也有着比随机网络高许多的聚类系数。因此,Watts和Strogatz认为,实际网络是一种介于规则网络和随机网络之间的网络。把这种特性称为现实网络中小世界特性,即1.很小的平均路径长度当节点数N很大时,平均路径长度近似于logN。2.很高的聚类系数聚类系数大约和规则网络在同一个数量级,但远大于随机网络的聚类系数。小世界网络是一类特殊的复杂网络结构,在这种网络中大部分节点彼此并不相连,但绝大部分节点之间经过少数几步就可到达。在实际中,某些你觉得与你隔得很“遥远”的人,其实与你很“亲近”。小世界网络就是对这种现象也称为小世界现象的数学描述。用数学中图论理论来讲,小世界网络就是一个由大量顶点构成的图,其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小的多。小世界网络在社交网络、生物学、物理学、计算机科学等领域应用甚为广泛。第5页
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