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惟一因子分解整环上的Smith矩阵.pdf

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四川大学硕士学位论文1引言设S{w1,W2,,%}是整数环z上n个不同正整数构成的集合,e是一个正整数.她椭和[戤,≈]分别为她,。i的最大公因子GCD和最小公倍数LCM.我们称5为因子封闭集,简称Fc集,如果对于s中的任何元*,它的任意一个因子仍在S中.以扎xi的e次方为第i行,列元素的矩阵称为e次幂GCD矩阵,记为S。;以[托,*J]的e次方为第i行J列元素的矩阵称为e次幂LCM矩阵,记为[酽].当e1时,S1和[.s1]就是我们通常所说的GCD矩阵s和LCM矩阵[s].对GCD矩阵的研究始于Smith[“,他证明了当s{1,2,,n}时,矩阵S的行列式Det_s驴1P2pn,其中甲为Euler函数,在1989年,Beslin和Light23进一步证明了定义在正整数集Js上的GCD矩阵Js正定从而可逆,并得到了s的分解结构定理,即S可以分解为一个矩阵A和它的转置矩阵A7的乘积,或者分解为三个矩阵的乘积EAEr,其中妒为E的转置矩阵,以为对角矩阵,并得到了当s为一般的Fc集以Smith所考虑的S11,2,,n}的情形为特例时,s的行列式Det.s9Ⅳ1妒*2PⅨ。.在1990年,LiL3 J又证明了其逆命题也成立,即若s的行列式DetS9X1P929‰。则s是一个因子封闭集.在1992年,Bourque和LighC4】在s为因子封闭集的条件下得到了s的逆矩阵的表达式,并由此证明了s整除[s],即[s]可以表为s与另外一个z上矩阵的乘积.对于S上的LCM矩阵的研究也始于Smith因此现在人们把幂GCD和幂LCM矩阵统称为Smith矩阵.Smith在文[1]中证明了如果S是一个Fc集,则[s]是非奇异的,并且其行列式Det[S]P筇1P并29茹。,r髫1丌并2丌Xn,这里9为Euler函数,万是一个乘法函数,定义在素数幂P7上,使得丌pr一P.Bourque和“gh【4]进而得到了此时[s]的逆矩阵的表达式.我们称集合Js是一个GCD封闭集也就是最大公因子封闭集,若S中任意两个元铂wf的最大公因子m*f仍属于ls.关于GCD封闭集s上的LCM矩阵[S]的行列式是否为零的问题是一个有趣的问题在文[43中,Bourque和H出曾经猜想定义在一个GCD封闭集上的LCM矩阵[s]非奇异,然而Hong[5]于1999年证明了当n≤7时,此猜想成立,而当n≥8时,猜想不成立,并进而提出猜想设e为正整数,则对于s上的e次幂GCD矩阵,存在一个与g有关的正整数e,使得当n≤e时,4四川大学硕士学位论文Bourque.Ligh猜想成立,而当rtke时,猜想不成立.显然,Hong证明了k17.在2004年,c80[6]证明了k2≥8.目前Hong的猜想还是一个公开问题.近年来,对于GCD和LCM矩阵以及它们之间关系的研究日渐增多H,8J.另外,也有研究者对幂GCD和幂LCM矩阵进行了推广.一方面,以算术函数作为矩阵的元素,使得幂GCD和幂LCM矩阵成为这些矩阵的特殊情形[9‘12].另一方面,Beslin和e1.Kassar于1989年将s中元素所在的集合由整数环z推广到任意惟一因子分解整环u.F.D.R上,获得了类似于z上的一些结果u 3|.在本文中,我们在任意惟一因子分解整环R上定义了最大公P_因子w,,,P和最小公P-倍元[*,Y],,因子封闭集s以及幂GCD矩阵酽和幂LCM矩阵[酽],获得了如下结果①定义在集合Js上的e次幂GCD矩阵酽非奇异;②若s是R上的FC集,则s上的e次幂GCD矩阵的行列式为Dets‘昴z1昴*2昴‰,其中昴*为屁上的Jordan函数;③当s为FC集时,得到了_S8的逆矩阵酽。1的表达式;④证明了当s是Fc集时,酽整除[酽],即[S。]等于s。与R上另一个矩阵的乘积.这些推广了Bourque和ugIl【11,12]以及Beslin和e1.Kassar[13】的结果.本论文中的结果取自文[14]和[15].5四川大学硕士学位论文2 素系及乘法函数设只是一个惟一因子分解整环即unique factorization domain,记加法单位元为0,乘法单位元为1.而“常指R中的一个单位.设x为R中的非0元.我们称*为R中元Y的因子,如果存在R中元z使得Y%,记为W I,,.若非0元*,y满足*uy,则称*与Y相伴.两个非0元W与y相伴当且仅当z町.显然,单位u是任意元*的因子,*的任意相伴元一也是*的因子.一般地,我们称尺中单位和“的相伴元为z的平凡因子,其它的因子则称为z的真因子.如果R中非0、非单位元P仅有平凡因子,则我们称P为素元.熟知,若P为素元,则即也是一个素元.由R的定义,R中非0非单位元可以“惟一”具体含义参见文献[16]分解为R上一些素元的乘积,也就是说,任意非0非单位元*∈R,有gpl Clp2¨·P。‘,其中Pfi1,2,s为_R中素元,5,吼为正整数.设s{z1,*2,,‰}是R上n个互不相伴非0元构成的集合,我们称s是一个因子封闭factor closed集,若对于任意她∈Sm的任何因子包括平凡因子和真因子都∈s,或与s中某个元新相伴.若R中非0元d既是*的因子,又是Y的因子,则称d为x,y的一个公因子.显然若d为z,Y的公因子,则以也是.R中元d称为*,,,的一个最大公因子,如果d是w,Y的一个公因子,且“,Y的任意一个公因子d’都是d的因子.易见最大公因子并不惟一,但是它们之间互为相伴元.同样,我们可以定义*,Y的最小公倍元也不惟一.我们知道,R中的两个元间的相伴关系是一种等价关系参见文献[17],第76页,我们可以将R中元按照相伴关系分为一些互不相交的等价类,从每一个类中取一个代表元.根据这种思想,我们引入素系的概念从_R的所有素元所在的等价类中分别取出一个代表元,再将它们按某种顺序排列,使所得集合为良序集,则我们称所得集合为R的一个素元系,简称素系,记为P.取定了素系P后,由于R为惟一因子分解整环,置中非0、非单位元Ⅸ就可惟一确定地分解为wupl‘p202仇‘,其中P∈P,岛,s均为正整数,u为尺中单位.我们称R中元*为一个P-数,若*可分解为P中素元的乘积.我们将所有p-数与乘法单位元集{1}之并记为芦,它对乘法封闭.可见芦中元要么是1,要么是一个P_数.设*为R中的非O元.如前文所述,z的每一个因子均分别属于一个等价类.例如,*的单位因子就是单位元1所在的类;*的相伴元所在的类就是所在的6四川大学硕士学位论文类.我们从*的所有因子所在的类中分别取一个元,构成一个集合,称为元z的一个完全因子系,简称完系,记为Q.如果一个元d是*的因子,且d E芦,则称d为*的P-因子.特别地,我们称*的由所有P_因子构成的完系为z的完全P.因子系,简称P-系,记为只.易见*的完系一般不惟一,而P_系是惟一确定的,而且w的任一完系中元素的个数与其P_系中元素的个数相同,两个集合中元素对应相伴,即对于P-系中任一元d,任一完系中均有一个元d’与之相伴,反之亦然.设*,Y均为R中非0元.*,Y的最大公因子构成了一个等价类,我们定义属于尹的那一个为W,Y的最大公P-因子,记为W,yP.显然,最大公P.因子是惟一存在的.同理,我们定义属于芦的那一个最小公p-倍元为*,Y的最小公P-倍元,记为[W,y]P.当Rz时,素元就是通常的素数,素系就取为通常的所有正素数,最大公P_因子就是最大公因子,最小公P-倍元就是最小公倍数.设Wu1P1 elp2¨·P。‘,Yu2p1‘p≯p』,其中u1,“2为R中单位,PiE P,el≥0,石≥0为整数.易见*,yPPl岫1‘z,,1p2min气,‘psrain巳·.f’∈芦.若g,Y之一为单位,则*,yP1.而[茹,y]尸Pt“搬‘·’,l’P2鹏‘气,‘P,m旺‘巳,f’∈芦.显然,我们有性质2.1*,Y.[Ⅳ,Y]∈芦,且与xy相伴.定义2.2设*ttpl’p2%P,‘为R中非O元.称ipl e*p2%P;。,E芦为z的主要部分,简称主部.定理2.3 如果定义在RR一{0}上的函数.厂满足V“∈R。有.厂x厂i,则有2抓d芝抓d,dEq dE-巴其中d E G表示d过w的任一完系,而d∈只表示d过z的P-系.证明 由完系和P_系的定义,对*的任一完系中的元d,有dud’,d’是*的P.系中元,代人等式左端,再利用条件即得结论.注1 在定理2.3中,当,的取值与完系的取法有关时,必须指明完系的取法,否则求和是没有意义的.另外,R中非O元*的完系一般有多个,但P.系是惟一的,所以在对满足定理2.3条件的函数求和时,我们只需让d过w的P_系,从而可以简化计算.7四川大学硕士学位论文定义2.4 称定义在R。上的函数/为一个乘法函数,如果/不恒等于0,且对任意满足*,,P1的z,Y均有“xy,*fY.性质2.5若,为乘法函数,则有“11.证明 因为,不恒等于o,则必然存在非O元*使得八*≠0.从而由*,1rl,得以z“z·1“x“1,所以文11.注2对于乘法函数来说,一般未必有,“1.特别地,如果乘法函数,满足,“1,令W噼,由于“*“城,u,i,i,于是,满足定理2.3的条件.定义2.6 对于定义在R上的两个函数f,g,定义它们的狄利克雷Dirlchlet乘积,。g为,*g∞游dgx/d.d∈匕引理2.7设搿,Y为霆中非O元,且*,,,Pl。如果dI过的只系,如过Y的P-系,则dl·d2过彬的P_系.证明 由于x,YP1,则可假设x,Y的标准分解式分别为ztripl。 P2。2PIt,Y 2 u2q1,19/2q/,,其中Pi,毋为互不相同素元,il,2,s,J1,2,r.则*的P-系中任意一个元d1可表为dlPl‘ P2‘2P。‘·,其中0≤如≤eI,k1,2,5.元Y的P-系中任意一个元d2可表为d2qlqeh’q/,.其中0≤≤工,t1,2,r.从而dl,d2P1,且dld2pl‘tp2‘一。psi.q1’1q2hg/r.易见dl如∈PF,且从只中另取一个元l,从B中另取一个元£2,则dld2≠t1£2.另一方面xy嘶u2p11p2%A勺1,19乒q/,,则叫的P-系中任意一个元d可表为dpl‘ p2‘一。A‘m‘q2hq/r,其中0≤ik≤%,0≤工,k1,2,s,tl,2,r.令dld,*P,d2d,YP,8四川大学硕士学位论文则有dd2d2,且d】,如,l,可见d 2d2确实过xy的P_系.证毕.定理2.8 两个乘法函数的狄利克雷乘积仍是乘法函数.证明 设f,g为R上的两个乘法函数,h为它们的狄利克雷乘积,则由定义h*≥狄dgx/d,d∈巴显然h定义在月’上,且h1“1g11,可见h不恒等于0.对R中满足*,yP1的任意两个元w,Y,我们有hxy∑“dgxy/dd∈Pt目由引理2.7,我们令ddld2,其中dl过*的p-系,d2过,,的P_系,d1,dzP1.利用乘法函数的定义,我们有hxy ∑“dld2gxy/dld241∈PJ-吃∈一 ∑“d1“d2gx/d1gy/d24l∈t-吒∈一∑fd1占*/d1∑fd2gy/d24I∈PI dzE一h*hy.证毕.定义2.9 设*为R中非0元.定义R上的Jordan函数昴为r1 u,以为2 i立∥圳Ⅳ-1 。讲谚讲.当e1时,昴就是R上的Euler函数仰.而当Rz时,西就是通常的Jordan函数.由昴的定义不难看出,它是R上的乘法函数,且满足昴u1.性质2.10设R中非0元≈的标准分解式为Ⅳupik,p2屯挑t,则∑-,;du,。c,此处。,_1dE c 旷证明 令gⅨ∑昴d4∈cJ由于弗为乘法函数,且满足.,}u1,由定理2.3,有g“∑J}d∑昴d.d∈q d∈Pl9四川大学硕士学位论文在R中任取两个非0元*,,,满足z,yP1,由引理2.7,令ddld2,其中d1过g的P_系,d2过y的P.系,d1,d2Pl,则有gxy∑昴d ∑昴d。d2o∈’w dl∈ ,,t26P7 ∑J,gd1昴d2dl∈t·呜∈■∑昴d。∑昴d2oI∈t 呜∈■g*gY,故g也是一个乘法函数.接下来我们证明gP“P“,其中n为正整数.由定理2.3,我们有gPn∑昴dd∈P,1J。ep.,}p2J ep“1P。一1P2‘一p。P“一p。‘“一1P“,所以g*g“ⅡP●1-[gpik,Ⅱpl吐.Ⅱp{t。专。“’*e,其中Ⅱ’七.证毕.推论2.11若z∈芦,则∑昴dzc.d∈‘定义2.12设g为R中非0元.定义函数/l为r1 *u,卢*{一13 *uplp2风,‘0 其它.当Rz时,户就是通常的Mtibius函数.由定义不难看出弘是R上的乘法函数,且/lu1.性质2.13设z为R中非0元,则有静㈤琵 巍}’四川大学硕士学位论文证明 与性质2.10的证明类似,令h“∑pd,则可证h“也是乘dE乞法函数.又岸满足定理2.3,且当Wu时,d只能取1,故huP11.当*≠“时,设*upl。tp2气P。‘,只需计算hp产,i1,2s.此时d依次取1,pf,pf2,,p●,故hp●∥1ppfpPi2PP{8-卢1FP;l一10.故hx0.命题得证.四川大学硕士学位论文3 幂GCD矩阵S8的非奇异性及其行列式设S{*。,*2,,‰}为R中n个互不相伴非O元组成的有序集合.定义在s上的以钆*,;为第i行J列元素的矩阵称为e次幂GCD矩阵,记为s。,其中e为正整数,以[戤,x廓为第i行,列元素的矩阵称为e次幂LCM矩阵,记为[P].本节我们首先来讨论酽的非奇异性.引理3.1设S{*,,x,,z。}是一个R中n个互不相伴非0元组成的有序集,D{d1,d2,,如}是包含s的Fc集.定义矩阵A%,Bbi。。。为f昴弓。『2 lo则5。AB。而I Xi,其它,di xj,其它.证明 由推论2.11,及Fc集D的性质,有脑∑o成∑昴也★21 dkh.,吨I‘ ∑ 昴矗; ∑ ,;dd∈c{,.dEC々 d∈户,·d∈P々 ∑fied%*∥.d∈P‘‰’P证毕。注3若定义矩阵E%。。。为铲琵 姜寥Adiag似剐肼㈨I.”m‰,则S8昱·A,E7.注4 R可以嵌入其分式域F中.设S’‰.m。,,甄}是S中元的一个新排列,通过交换酽的行和列,我们最终将得到S”,从而S上的e次幂GCD矩阵S。和s’上的e次幂GCD矩阵_S”相似,所以秩酽秩S”,DetS。DetS“.注5 设R的分式域为,.F的分裂域F使得每一个昴Xi均有平方根.同引理3.1一样,令D{d1,d2,,d。}是包含S的FC集,定义矩阵A%为四川大学硕士学位论文J√-,}df 若d,J*f,aO.2 10。其毛.则类似引理3.1可证酽A·Ar,此处A7表示矩阵A的转置.我们将S中所有元素的属于P的全部素因子取出来,按照素系P中元的排法排成一列,记所得集合为{P。,P,,P,},则此集合也是良序集.然后我们在s上定义一个序为设xulpl e ap2¨·p产,Yu2plf,p乒∥为|S中任意两个元素,其中Ⅱl,“2为R中单位,P‘∈P,ei≥0,fJ≥0为整数,如果存在一个正整数c,使得对所有的1≤kc,e五,但e。fo,则zY.S在这个序下是良序集.定理3.2 GCD幂矩阵s。是非奇异的.证明 由注4,我们不妨假设s中元是按照序排好的,即有。l”2奶*。.易见当i,时,瓤婶,。,’她.我们选择包含s的Fc集D的前n个元为dlz1,d2x2,,蟊‰,从而注5中的矩阵A可以分块为两个部分,AA。,Az,其中A。为如下形式的n阶下三角阵厂丽雨0 00*以丽习00i ; i 0* * *以i页习而A2为titnx n矩阵.从而有秩A秩A’n秩酽.所以酽是尹上的非奇异矩阵,从而在F上也是.证毕.n定理3.3若s为FC集,则DetS II昴规.证明 若S为Fc集,则注3中的矩阵E和∥均为单位矩阵.定理得证.推论3.4若ls为n个不同正整数构成的FC集,se为e次幂GCD矩阵,则Det酽1-f,耽,其中,为Jordan函数.推论3.5112]若s为R上的Fc集,s为定义在s上的GCD矩阵,则DetSo儿和托,其中即为R上的Euler函数.13
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