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离散数学习题与解答.doc

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作 业 题 与 解 答第 一 章19 2、 4 、 621 1、 2 、 319、 2解 答 p→ ┐ p→ ┐ q 真 值 表 如 下 p q ┐ p ┐ q p→ ┐ p p→ ┐ p→ ┐ q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 119、 4所 以 公 式 p→ ┐ q→ ┐ q 为 可 满 足 式解 答 p→ q→ ┐ q→ ┐ p 真 值 表 如 下 p q ┐ p ┐ q p→ q ┐ q→ ┐ p p→ q→ ┐ q→ ┐ p0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1所 以 公 式 p→ q→ ┐ q→ ┐ p为 永 真 式19、 6解 答 p→ q∧ q→ r→ p→ r 真 值 表 如 下 p q r p→ q q→ r p→ r p→ q∧ q→ r p→ q∧ q→ r→ p→ r0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1所 以 公 式 p→ q∧ q→ r→ p→ r为 永 真 式21、 1解 答 ┐ ┐ p∧ q∨ ┐ r 真 值 表 如 下 p q r ┐ p ┐ r ┐ p∧ q ┐ ┐ p∧ q ┐ ┐ p∧ q∨ ┐ r0 0 0 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 10 1 1 1 0 1 0 01 0 0 0 1 0 1 11 0 1 0 0 0 1 11 1 0 0 1 0 1 11 1 1 0 0 0 1 1所 以 成 假 赋 值 为 01121、 2解 答 ┐ q∨ r∧ p→ q真 值 表 如 下 p q r ┐ q ┐ q∨ r p→ q ┐ q∨ r∧ p→ q0 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 00 1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 0 01 0 1 1 1 0 01 1 0 0 0 1 01 1 1 0 1 1 1所 以 成 假 赋 值 为 010,100,101,11021、 3解 答 p→ q∧ ┐ p∧ r∨ p真 值 表 如 下 p q r p→ q p∧ r ┐ p∧ r ┐ p∧ r∨ p p→ q∧ ┐ p∧ r∨ p0 0 0 1 0 1 1 10 0 1 1 0 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 1 01 0 1 0 1 0 1 01 1 0 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1所 以 成 假 赋 值 为 100,101第 二 章 5、 1 2 3 6、 1 2 3 7、 1 2 8、 1 2 35、 求 下 列 公 式 的 主 析 取 范 式 ,并 求 成 真 赋值1 ┐ p→ q→ ┐ q∨ p?┐ ┐ p→ q ∨ ┐ q∨ p?┐ ┐ ┐ p ∨ q ∨ ┐ q∨ p?┐ p ∧ ┐ q ∨ ┐ q∨ p?┐ p ∧ ┐ q ∨ p ∧ ┐ q∨ p ∧ q?m0 ∨ m 2∨ m3,所 以 00, 10,1 1 为 成 真 赋 值 。2 ┐ p→ q∧ q∧ r?┐ ┐ p∨ q∧ q∧ r?p∨ q∧ q∧ r?p∧ q∧ r∨ q∧ r?p∧ q∧ r∨ p∧ q∧ r∨ ┐ p∧ q∧ r?p∧ q∧ r∨ ┐ p∧ q∧ r?m3∨ m 7,所 以 011,1 11 为成 真 赋 值 。3 p∨ q∧ r→ p∨ q∨ r?┐ p∨ q∧ r∨ p∨ q∨ r?┐ p∧ ┐ q∨ ┐ r∨ p∨ q∨ r?┐ p∧ ┐ q∨ ┐ p∧ ┐ r∨ p∨ q∨ r?┐ p∧ ┐ q∨ ┐ p∧ ┐ r∨ p∨ q∨ r?┐ p∧ ┐ q∨ ┐ p∨ p∨ q∨ r∧ ┐ r∨ p∨ q∨ r ?┐ p∧ ┐ q∨ 1∧ 1?┐ p∧ ┐ q∨ 1?1?m0∨ m1∨ m 2∨ m3∨ m4∨ m5∨ m 6 ∨ m 7,所 以 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为 成真 赋值 。7、 求 下 列 公 式 的 主 析 取 范 式 , 再 用 主 析 取 范 式 求 主 合 取 范 式1 p∧ q∨ r? p∧ q∧ r∨ p∧ q∧ ┐ r∨ p∧ r∨ ┐ p∧ r? p∧ q∧ r∨ p∧ q∧ ┐ r∨ p∧ r∧ q∨ p∧ r∧ ┐ q∨ ┐ p∧ r∧ q∨ ┐ p∧ r∧ ┐ q? p∧ q∧ r∨ p∧ q∧ ┐ r∨ p∧ ┐ q∧ r∨ ┐ p∧ q∧ r∨ ┐ p∧ ┐ q∧ r?m1∨ m3∨ m5∨ m6∨ m7 由 主 析 取 范 式 和主 合 取 范 式 之 间的 关 系 , 所 以 公式 的 主 合 取 范 式 为 p∧ q∨ r ?M0∧ M2∧ M42 p→q ∧ q→ r?┐ p∨ q∧ ┐ q∨ r?┐ p∧ ┐ q∨ r∨ q∧ ┐ q∨ r?┐ p∧ ┐ q∨ ┐ p∧ r∨ q∧ ┐ q∨ q∧ r?┐ p∧ ┐ q∨ ┐ p∧ r∨ q∧ r?┐ p∧ ┐ q∧ ┐ r∨ ┐ p∧ ┐ q∧ r∨ ┐ p∧ q∧ r∨ ┐ p∧ ┐ q∧ r∨ p∧ q∧ r∨ ┐ p∧ q∧ r?┐ p∧ ┐ q∧ ┐ r∨ ┐ p∧ ┐ q∧ r∨ ┐ p∧ q∧ r∨ p∧ q∧ r?m0∨ m1∨ m3∨ m7由 主 析 取 范 式 和主 合 取 范 式 之 间的 关 系 , 所 以 公式 的主 合 取 范 式 为 p→ q∧ q→ r ?M2∧ M4∧ M5∧M 68、求 下列 公 式 的 主 合 取范 式 , 再 用 主 合取 范 式 求 主 析 取范 式 1 p∧q →q?┐ p∧q ∨ q?┐ p∨ ┐q ∨ q?┐ p∨ ┐q ∨ q?┐ p∨1?1 该 公 式 无 主 合 取 范 式 , 所 以 公 式的 主析 取 范 式 为 p∧q → q ?m0∨ m1∨ m2∨ m3 2 p?q→ r?┐ ┐ p∨q ∧ p∨ ┐ q∨ r?p∧ ┐ q∨ ┐ p∧ q∨ r?p∨ ┐ p∧ q ∧ ┐ q∨ ┐ p∧ q∨ r?p∨ ┐ p∧ p∨ q∧ ┐ q∨ ┐ p∧ ┐ q∨ q∨ r?p∨ q∧ ┐ q∨ ┐ p∨ r?p∨ q∨ r∧ ┐ p∨ ┐ q∨ r?M0∧ M6 由 主 合 取 范 式 和主 析 取 范 式 之 间的 关 系 , 所 以公式 的 主 析 取 范 式 为 p?q→r ?m1∨ m2∨ m3∨ m4∨ m5∨ m73 ┐ r→ p∧ p∧ q?┐ ┐ r∨ p∧ p∧ q?r∧ ┐ p∧ p∧ q?r∧ ┐ p∧ p∧ q?r∧ 0∧ q?0?M0∧ M1∧M 2∧ M3∧ M4∧M 5∧ M6∧ M7该 公 式 无 主 析 取范 式第 三 章 14 2、 4、 5 15 1、 2 16 114、 在自 然 推 理 系 统 P 中构 造 下 面 推 理 的证 明 2 前 提 p→q , ┐ q∧ r, r结论 ┐ p证明 ① ┐ q∧r 前提 引 入② ┐ q∨ ┐r ① 置 换③ r 前 提 引 入④ ┐ q ② ③ 析 取 三 段 论⑤ p→q 前 提 引 入⑥ ┐ p ④ ⑤ 拒 取 式( 4) 前 提 q →p , q s, s t, t∧r结 论 p ∧q证 明 ① s t 前提 引 入② s→t ∧ t→s ①置 换③ t→s ② 化 简④ t∧r 前 提 引 入⑤ t ④ 化 简⑥ s ③ ⑤ 假 言 推 理⑦ q s 前 提 引 入⑧ s→q ∧ q→s ⑦ 置 换⑨ s→q ⑧ 化 简⑩ q ⑥ ⑨ 假 言 推 理q→p 前 提 引 入p ⑩ 假 言 推 理p∧q ⑩ 合 取( 5) 前 提 p →r , q→ s, p∧q结 论 r ∧s证 明 ① p∧ q 前 提 引 入② p ① 化 简③ q ① 化 简④ p→r 前 提 引 入⑤ r ② ④ 假 言 推 理⑥ q→s 前 提 引 入⑦ s ③ ⑥ 假 言 推 理⑧ r∧ s ⑤ ⑦ 合 取15、 在 自 然 推 理 系 统 P 中 用 附 加前 提 法 证 明 下 面各 推 理 1 前 提 p→ q→r , s→ p, q结 论 s →r证 明 ① s 附 加 前 提 引 入② s→p 前 提 引 入③ p ① ② 假 言 推 理④ p→ q→r 前 提 引 入⑤ q→r ③ ④ 假 言 推 理⑥ q 前 提 引 入⑦ r ⑤ ⑥ 假 言 推 理 2 前 提 p∨q → r∧s , s∨t →u结 论 p→ u证明 ① p 附 加 前 提 引 入② p∨q ① 附 加③ p∨q → r∧s 前 提 引 入④ r∧s ② ③ 假 言 推 理⑤ s ④ 化 简⑥ s∨t ⑤ 附 加⑦ s∨t → u 前 提 引 入⑧ u ⑥ ⑦ 假 言 推 理16、 在 自 然 推 理 系 统 P 中 用 归 谬法 证 明 下 面 推 理 1 前 提 p→ ┐q , ┐ r∨q , r∧ ┐ s结 论 ┐p证明 ① p 结 论 否定 引 入② p→ ┐q 前 提 引入③ ┐ q ① ② 假 言 推 理④ ┐ r∨q 前 提 引 入⑤ ┐ r ③ ④ 析 取 三 段 论⑥ r∧ ┐s 前 提 引 入⑦ r ⑥ 化 简⑧ ┐ r∧r ⑤ ⑦ 合 取 矛盾 ⑧ 为 矛盾 式 , 由归 谬 法 可 知 , 推理 正 确 。 第 四 章 5、 1 2 3 4 10、 2 4 11、 2 65、在 一阶 逻 辑 中 将 下 列命 题 符 号 化 1 火 车 都 比 轮 船 快。?x?yFx∧ Gy→ Hx,y,其 中 , Fx x 是 火 车 , Gy y 是 轮 船 , Hx,yx 比 y 快 。 2 有 的 火 车 比有 的 汽 车 快 。?x?yFx∧ Gy∧ Hx,y, 其 中,Fx x 是 火车 , Gy y 是 汽 车 , Hx,yx 比 y 快 。 3 不 存 在 比所 有 火 车 都 快 的汽 车 。┐ ?xFx∧ ?yGy→ Hx,y
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