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网络的稳定性、无源性和耗散性.doc

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电网络分析选论结课论文网络的稳定性、无源性和耗散性目录第 1 章 概述 ....................................................................................................................................1第 2 章 网络的稳定性 ....................................................................................................................22.1 系统平衡点稳定性定义 ....................................................................................................22.1.1 自治系统平衡点稳定性 ............................................................................................22.1.2 时变系统平衡点稳定性 ............................................................................................32.2 平衡点稳定性判别方法 ....................................................................................................42.2.1 自治系统平衡点稳定性判据 ....................................................................................42.2.2 时变系统平衡点稳定性判别 ....................................................................................62.3 Lyapunov 函数的构造方法 ..............................................................................................62.4 pL稳定性 ...........................................................................................................................72.5 2增益 ...............................................................................................................................82.6 小增益定理 ........................................................................................................................9第 3 章 网络的无源性 ..................................................................................................................103.1 无源性的概念 ..................................................................................................................103.2 无源性条件 ......................................................................................................................11第 4 章 网络的耗散性 ..................................................................................................................134.1 耗散性定义 ......................................................................................................................134.2 耗散性意义 ..................................................................................................................14第 5 章 三者之间的关系 ..............................................................................................................155.1 无源性与稳定性关系 ......................................................................................................155.2 无源性与耗散性的关系 ..................................................................................................15参考文献 ..........................................................................................................................................16电网络分析选论结课论文1网络的稳定性、无源性和耗散性第 1 章 概述稳定是系统能够正常运行的前提必要条件。论文介绍了非线性系统平衡点 Lyapunov稳定性分析理论,包括各种稳定形式的严格数学定义、稳定性判别定理。另外,从映射或算子的角度给出了非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。无源性的概念是与实际系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。它把系统 Lyapunov 稳定性和 稳定性联系在一起,为分析非线性系统平衡点处 Lyapunov 稳2L定性和系统输入输出 稳定性提供了方便直观的工具。论文介绍了无源性定义和条件。2将无源性的概念扩展,即可引入与系统 性能准则相关的系统耗散性的概念,这为分2L析非线性系统抗扰性能提供了有力工具。论文对耗散性概念、条件和意义进行了阐述。论文还表明了三者之间的关系。电网络分析选论结课论文2第 2 章 网络的稳定性对于实际工程中的动态系统来讲,稳定性是最基本的要求。对于非线性系统的稳定性分析,存在许多不同类型的稳定性问题 [1]。例如,Lyapunov 稳定性无外部信号激励的情况下,系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。因此,也称为平衡点的 Lyapunov 稳定性。输入-输出稳定性和输入-状态稳定性在有界的外部信号激励下,系统的输出和状态响应能够停留在有界的范围内的稳定特性,输入-输出稳定性也叫有界输入有界输出BIBO 稳定性。对于线性系统来讲,平衡点的 Lyapunov 稳定性和输入-状态 或输出稳定性实际上是等价的,但是对于一般的非线性系统则不然。下面 1-3 节讨论平衡点的 Lyapunov 稳定性,4-6 节讨论输入-状态或输出 稳定性。2.1 系统平衡点稳定性定义2.1.1 自治系统平衡点稳定性考虑如下所描述的非线性自治系统\* MERGEAT 2-10,xfx??式中, 为状态变量; 是关于 局部 Lipschitz 的; 是系统初始条件。nxDR??nfDR?0 x假设 为包含 点的域,且 为式\* MERGEAT 2-1系统的一个平衡点,即0?0 x。0f根据微分方程理论可知,在 是关于 局部 Lipschitz 的条件下,对于任意初始条件fAx,式\* MERGEAT 2-1系统的解 在 上有定义且是连续的。以0 x 0,tt??[,??后的讨论中,除非特别声明,均假设系统满足上述解的存在性条件。需指出,这里只讨论平衡点在坐标原点的稳定性问题。这是不失一般性的。因为任何平衡点均可通过坐标变量变换而移到原点,如 ,则令 ,,,0eexfx??? eyx??那么,就有 ,平衡点为 。,0eyxfgy????? ey?为此,对于式\* MERGEAT 2-1系统有如下的一些平衡点稳定性定义。定义 2.1(Lyapunov 稳定性)如果对于任意给定的 ,存在一个常数 ,0??0????使得对任意满足 的初始条件 ,式\* MERGEAT 2-1系统的解 满足0|x??0 x xt\* MERGEAT 2-2||,0tt????则称式\* MERGEAT 2-1系统在平衡点 处是 Lyapunov 稳定的,简称稳定。e?定义 2.2(渐近稳定性)如果式\* MERGEAT 2-1系统的平衡点 是稳定的,0ex?且选取 使得?\* MERGEAT 2-30|lim0txx??????或等价地,存在 和 ,使得 ,则称式\* MERGEAT 2-1系0a?Ta??0|,atT??电网络分析选论结课论文3统在平衡点 处是渐近稳定的。0ex?定义 2.3(指数稳定性)如果存在常数 ,使得对任意满足 的初始条件,0m??0|x??,式\* MERGEAT 2-1系统的解 满足0 x xt\* MERGEAT 2-40|||,ttet?????则称式\* MERGEAT 2-1系统在平衡点 处是指数稳定的。ex?定义 2.4(不稳定)如果对于某一个 ,不管 多么小,至少存在一个 ,使得0???0 x时,式\* MERGEAT 2-1系统的解 有0|x?? xt\* MERGEAT 2-511||,xt?则称式\* MERGEAT 2-1系统在平衡点 处是不稳定的。0e?注 2.1 由上述定义可以知道,一个系统在平衡点处如果是指数稳定的,就一定是渐近稳定的、Lyapunov 稳定的,如果是渐近稳定的就一定是 Lyapunov 稳定的;但反之,若是Lyapunov 稳定的,不一定是渐近稳定的,是渐近稳定的,不一定是指数稳定的。注 2.2 对于非线性系统,还要注意局部稳定性和全局稳定性的概念。局部稳定性是指对于 ,性能成立。而全局稳定性是指 ,性能均成0{||}nhexBxRxh????? 0nxR??立。注 2.3 对于线性定常系统,渐近稳定性总是全局的和指数稳定的,不稳定总是隐含指数发散的。只有非线性系统才区别渐近稳定性、指数稳定性、全局稳定和局部稳定。线性系统的局部稳定性和全局稳定性是一致的,因为线性系统只有一个平衡点,平衡点的稳定性,即是系统的全局稳定性。2.1.2 时变系统平衡点稳定性考虑非线性时变系统\* MERGEAT 2-6,xft??式中, 为状态变量; 为时间变量; 是 的分段连续函数,且关xD?tR??[0nDR???t于 在 上局部 Lipschitz, 是包含原点 的域。 ,即[0,??nD?x,0,ftt???是平衡点。x?同样,也只研究平衡点在原点的情况。如果平衡点不在原点,可以通过坐标变换将其移到原点。例如,假设系统 的解为 ,通过坐标变换,dyg??,ya??,系统变换为,xyta???,,,xgygtaxyttatafx????????? ??因此,原点 是系统 在 时的一个平衡点,可以通过判别被变换系统在原0 x?,f?0电网络分析选论结课论文4点的稳定性能,来确定原系统解 的稳定性能。y?对于任意初始条件 ,式\* MERGEAT 2-6系统的解00,xttD??在 上有定义且是连续的。非自治系统平衡点处的稳定性概念与上面介0,xttx??0[,t?绍的自治系统的稳定性概念基本相同,不同的是自治系统的解仅依赖于 ,而非自治系0t?统的解既依赖于 ,又依赖于 。因此,对于非自治系统,各种稳定性的定义需要修改,而t0t且需要更详细的划分。定义 2.5(Lyapunov 稳定性和一致 Lyapunov 稳定性)如果对于任意给定的 及初0??始时刻 ,存在一个常数 ,使得对任意满足 的初始条件 ,0t?0,t????0||xt??0xt式\* MERGEAT 2-6系统的解 满足0,tx?\* MERGEAT 2-70||,t????则称平衡点 是 Lyapunov 稳定的。0ex?如果在上述定义中, 而与 无关,则称平衡点 是一致 Lyapunov 稳定0????0t 0ex?的。如果式\* MERGEAT 2-7对任意 成立,则称平衡点 是全局稳定0nxtR?ex的。定义 2.6(渐近稳定性和一致渐近稳定性)如果式\* MERGEAT 2-6系统的平衡点 是稳定的,且存在 使得0ex?0ct??\* MERGEAT 2-800lim|,|,||ttxxtc??????则称平衡点 是渐近稳定的。0ex?如果平衡点 是渐近稳定的,且存在的 与 无关,则称平衡点 是一致渐近e c0t 0ex?稳定的。如果平衡点 是一致稳定的,且对于每对正数 和 ,存在 ,使得0ex??c,Tc??\* MERGEAT 2-900||,,||xttTxt??????则称平衡点 是全局一致渐近稳定的。e定义 2.7(指数稳定性)若式\* MERGEAT 2-6系统在平衡点 是渐近稳定0ex?的,且存在正数 和 ,使得下式成立0k??电网络分析选论结课论文5\* MERGEAT 2-0000|||,,||txtketxtc??????10则称平衡点 是指数稳定的。如果式\* MERGEAT 2-10对任意 成立,0ex? 0nxtR?则称平衡点 全局指数稳定。e需指出,时变系统平衡点的指数稳定即为一致指数稳定。2.2 平衡点稳定性判别方法第 2.1 节给出了系统平衡点各种稳定性的定义,平衡点的稳定性是可以根据这些定义来判别的,但是直接由定义进行系统稳定性判别,有时候是很困难的,因此,控制理论发展了平衡点稳定性判别方法。2.2.1 自治系统平衡点稳定性判据1. Lyapunov 稳定性定理定理 2.1 对于式\* MERGEAT 2-1系统,令 是平衡点, 是包含0 x?nDR?的域, 是连续可微函数。如果在 内,有0 x?VDR?D1 ,且 ,即 在 内是正定函数;?0?Vx2 ,即 是半负定函数。??x?则系统在平衡点 处是 Lyapunov 稳定的。2. 渐近稳定性定理定理 2.2 对于式\* MERGEAT 2-1系统,令 是平衡点, 是包含0 x?nDR?的域, 是连续可微函数。如果在 内,有0 x?VDR?D1 ,且 ,即 在 内是正定函数;?0?Vx2 ,且 即 是负定函数。????则系统在平衡点 处是渐近稳定的。x定理 2.3 (全局渐近稳定)对于式 \* MERGEAT 2-1系统,令 是平衡点,0 x?是连续可微函数。如果nVR1 , ;0?0,,|VxVx??????2 , 。x??则系统在平衡点 处是全局渐近稳定的。3. 指数稳定性定理定理 2.4 对于式\* MERGEAT 2-1系统,令 是平衡点, 是包含0 x?nDR?的域。如果存在连续函数 ,常数 ,使得对任意的 ,有0 x?Vx123,??x?1 ;221||xV???2 。23|??则系统在平衡点 处是局部指数稳定的。如果对于任意的 ,条件(1) 、 (2)都成0 x? nxR?立,则平衡点是全局指数稳定的。4. 不稳定定理电网络分析选论结课论文6定理 2.5 对于式\* MERGEAT 2-1系统,令 是平衡点, 是包含0 x?nDR?的域。若存在连续可微函数 ,有 ,并且对于在原点的任意小邻域内0 x?VDR?0V( 很小)有 。同时,定义集合 ,在0| 0Vx?{|0},{|}rrUxBxr?????域 内 。则此时系统在平衡点是不稳定的。U?5. 线性定常系统稳定性判别现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。线性定常系统描述为\* MERGEAT 2-110,xAx??其中, 是非奇异阵。式\* MERGEAT 2-11系统有唯一的平衡点 。则平衡点A 0ex?的稳定性可由如下定理判别。定理 2.6 对于式\* MERGEAT 2-11系统,平衡点 是渐近稳定的充要条件ex是矩阵 的所有特征根满足 ,即矩阵 为 Hurwitz 矩阵。而矩阵 特征根均为负ARe0i??AA实部,当且仅当对任意给定的正定对称阵 ,存在满足如下 Lyapunov 方程的对称正定阵Q,而且,如果 阵是稳定阵,那么, 是方程的唯一解。PP\* MERGEAT 2-12TA???6. 非线性系统的线性化考虑式\* MERGEAT 2-1非线性系统,其中, 是连续可微的函数,nfDR?包含在 中,且是平衡点, 。由中值定理有0 x?D0f?\* MERGEAT 2-13,12,.iiiffxfzxn???其中, 是连接 与原点的线段上的一点。由于 ,则zx 0f\* MERGEAT 2-[0]iiiiif ffxzxzx?????14所以有\* MERGEAT 2-15xAg?其中, , 。0ifAx??[0]iiffgzx???函数 满足不等式 ,由于 的连续性,有当 时,||iiffx??fx?|0 x?。这意味着在原点的很小的邻域内,非线性系统可以用它的关于原点的线性化||0gx?来近似表示,则 在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵 来判别。进而A?? xf?? A电网络分析选论结课论文7有下面的 Lyapunov 间接定理。定理 2.7 对于式\* MERGEAT 2-1系统, 是平衡点, 连续可微,0 x?nfDR?是原点的一个邻域。令 ,则D0|xfA??1如果 的所有特征根均为负实部 ,原点是渐近稳定的。Rei??2如果 的特征根有一个或多个 ,原点是不稳定的。0i?注 2.4 定理 2.7 并未给出对于所有的特征根 ,对于一些特征根 的情况ei??Re0i??的结论,在这种情况下,用线性化不能确定原点的稳定性。2.2.2 时变系统平衡点稳定性判别本节将讨论式\* MERGEAT 2-6时变系统的平衡点 是稳定或渐近稳定的0ex?条件。注意,与自治系统相比,时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。设 是原点 的一个邻域, 是初始时刻。nUR?0 x?0[,Jt???定理 2.8 (Lyapunov 稳定定理)对于式\* MERGEAT 2-6系统,若存在连续可微的正定函数 ,并且 沿式\* MERGEAT 2-6系统的轨迹对,VtJUR??V的导数t\* MERGEAT 2-16,,txftxt????是连续半负定的,则 是该系统稳定的平衡点。若 是正定且渐小的,即存在正定0 x?,Vt函数 ,使得 ,则平衡点是一致 Lyapunov 稳定1,Wx12,,VtxWtxJU????的。定理 2.9 (渐近稳定定理)对于式 \* MERGEAT 2-6系统,若存在连续可微函数 ,和连续正定函数 ,使得[0,{|,|}nVURxr??????123,,Wxx和沿式\* MERGEAT 2-6系统的任意轨迹 的时间导数满足tx ,Vt1 12,Wt?2 3fxt???则 是该系统的一致渐近稳定的平衡点。如果 , 是径向无界,则 是该0 x? nUR?1Wx0 x?系统的全局一致渐近稳定的平衡点。定理 2.10 对于式 \* MERGEAT 2-6系统,若 是系统的,VtJUR??Lyapunov 函数,且满足1 ;221|,|,rxVtrxtJU????电网络分析选论结课论文82 。2,|,dVtxtxJU??????其中, 为给定常数,则零解 是指数稳定的。120,r? 0 x?2.3 Lyapunov 函数的构造方法以下是一些实际中常采用的 函数构造方法。Vx1. 线性定常系统 A??取 ,解 ,求出 ,由 的正定性判别系统稳定性。因此, 函QI?TPQ??P Vx数构造为 。Vx2. 线性时变系统 xAt??取 ,解 ,求出 ,由 连续、对称、正定判QI?TPttPtQt??Ptt别系统稳定性。因此, 函数构造为 。,Vtx,TVtxt?3. 非线性自治系统 f??1Jacobian 矩阵法先计算 Jacobian 矩阵 ,选取 , 为1122112..[].nnnffxxffJxffxx???????????????TVxfPx??对称正定阵,则 的时间导数为Vx[][][]TT TfPfJxfPfJxffJxPf????????令 ,则给定 ,求出 ,由 的正定性判别系统稳定性。TQJx?Q特例, ,则 ,是克拉索夫斯基法。I?,TTVxfxJx????2变量梯度法由 ,其中 ,若选取 使得11nnxVV?????????????? 1niijjPx??ijPx123.nVxx??????电网络分析选论结课论文9为负,同时满足旋度方程 ,则在此条件下求得,1,2.jijiVnx???1 211221200 0 0,.,,.,.,.nxx xx nVdddVxd????????2.4 pL稳定性一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式\* MERGEAT 2-17,xftuyh?????式中, 为该系统的内部状态; 为系统外部输入信号; 为系统输出信号。nxR?muR?qyR?在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时,可以采用输入输出法来建模非线性系统,就像可以采用传递函数这种外部描述法来建模线性系统一样。即非线性系统输入--输出之间关系被描述为如下形式\* MERGEAT 2-18yHu?其中, 代表某种映射或算子,指定了输入 和输出 之间的关系。下面研究工程系统的H品质特性,即从映射或算子的角度给出非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。1. 稳定性定义pL定义 2.8 考虑式\* MERGEAT 2-18非线性系统,其中算子 。如果mqpeeHL?存在定义在 上的 函数 和一个非负常数 ,使得对任意 ,有[0,?K?A?[0,T??\* MERGEAT 2-19|||,ppmTLTLpeHuu???成立,则称算子 是 稳定的。其中 表示向量空间的 范数。pL|pAp定义 2.9 考虑式\* MERGEAT 2-18非线性系统,其中算子 。如果mqpeeHL?存在非负常数 和 ,使得对任意 ,有??[0,T??\* MERGEAT 2-20|||,ppmLTLpeHuu??????成立,则称算子 是有限增益 稳定的。注 2.5 如果 , 是一致有界信号 的空间,则 稳定性即为有界输入有界输p??pLL?L?出稳定性。显然 BIBO 稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。由于范数的等价性,表征 BIBO 稳定的定义不局限于 空间或 --范数。实际上,只要输入信号在某种范数意L?义下有界时,输出信号也在同一范数意义下是有界的,则可称该系统是 BIBO 稳定的。
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