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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编19圆锥曲线.doc

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19 圆锥曲线1.(2012 新课标文科 4)设 1F, 2是椭圆 E2xyab?1( > >0)的左、右焦点,P为直线 32ax?上一点,△ P是底角为 03的等腰三角形,则 E的离心率为(C)A. 1 B. C. 4 D. 5【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.【解析】∵△ 21FP是底角为 03的等腰三角形,∴ 06??, 12|||c?,∴ 2||AFc,∴ 32a?,∴ e 4,故选 C.2.(2012 新课标理科 4)设 12是椭圆 210xyEba??的左、右焦点, P为直线 32ax?上一点, ?21FP是底角为 30?的等腰三角形,则 E的离心率为( C )A1B C?? D??【解析】选 C21FP是底角为 30?的等腰三角形 213324cPFacea?????3.(2012 新课标文科 10)等轴双曲线 的中心在原点,焦点在 x轴上, C与抛物线6yx?的准线交于 A、 B两点, | 43,则 C的实轴长为(C)A. . .4 D.8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为 x?,设等轴双曲线方程为 22xya??,将4x代入等轴双曲线方程解得 y 216a??,∵ |AB 43,∴ 16 43,解得 a2,∴ C的实轴长为 4,故选 C.4.(2012 新课标理科 8)等轴双曲线 C的中心在原点,焦点在 x轴上, C与抛物线xy162?的准线交于 ,AB两点, 43?;则 的实轴长为( C ) 2 ? D?【解析】选 C设 220xya???交 xy162?的准线 4l??于 ,23A4,23B?得 434a?5.(2012 新课标文科 20) (本小题满分 12 分)设抛物线 C 2xpy?( >0)的焦点为 F,准线为 l, A为 C上一点,已知以 F为圆心, FA为半径的圆 交 l于 B, D两点.Ⅰ若 09BD??, ?的面积为 42,求 p的值及圆 F的方程;Ⅱ若 , , 三点在同一条直线 m上,直线 n与 平行,且 n与 C只有一个公共点,求坐标原点到 m, n距离的比值 .【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.【解析】设准线 l于 y轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r,则|FE| p, |||FABD?r,E 是 BD 的中点,Ⅰ ∵ 09BD?,∴ ||| 2p,|BD| ,设 A x, y,根据抛物线定义得,|FA| 0y?,∵ A?的面积为 42,∴ ABDS? 1|22 12p? 4,解得p2,∴F0,1, FA| , ∴圆 F 的方程为 8xy???;Ⅱ 【解析 1】∵ , , 三点在同一条直线 m上, ∴ AB是圆 F的直径,09DB??,由抛物线定义知 |||2AB?,∴ 03AD?,∴ 的斜率为 3或- 3,∴直线 m的方程为 32pyx??,∴原点到直线 m的距离 1d 34p,设直线 n的方程为 b?,代入 2py?得, 20 xb???,∵ 与 C只有一个公共点, ∴ ? 4803,∴ 6b,∴直线 n的方程为 6pyx??,∴原点到直线 n的距离 2d 31p,∴坐标原点到 m, 距离的比值为 3.【解析 2】由对称性设20,Ap?,则 0,2pF点 ,B关于点 F对称得 2000,3xBxp?????得 3,2pA,直线32 32pmyxy???22 3xxpyyxpp???????切点 3,6pP直 线 3066ny??坐标原点到 ,m距离的比值为 32p?。6.(2012 新课标理科 20) (本小题满分 12 分)设抛物线 20Cxpy??的焦点为 F,准线为 l, AC?,已知以 F为圆心,FA为半径的圆 交 l于 ,BD两点; (1)若 09?, A?的面积为 24;求 p的值及圆 的方程;(2)若 ,三点在同一直线 m上,直线 n与 平行,且 n与 C只有一个公共点,求坐标原点到 ,n距离的比值。【解析】 (1)由对称性知 BFD?是等腰直角 ?,斜边 2BDp?点 A到准线 l的距离 dA?14242BDS???? 圆 F的方程为 28xy??(2)由对称性设20,Ap?,则 0,pF点 ,B关于点 F对称得222000,3xBxp?????得 3,2pA,直线32 32pmyxy???2 3xxy pp???切点 ,6pP直线 33066ppnyxxyp?????坐标原点到 ,m距离的比值为 32。7. ( 2013 新课标Ⅰ卷文科 4)已知双曲线 的离心率为 ,21xyCab??0,b?52则 的渐近线方程为( C )C(A) (B) (C) (D)14yx??13yx??2yx?yx??8. ( 2013 新课标文科 8) 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为 上一OF4?PC点,若 ,则 的面积为( C )|42PF?P?(A) (B) (C) (D)349. ( 2013 新课标Ⅰ卷理科 4)已知双曲线 21xyab??( 0,ab?)的离心率为52,则 C的渐近线方程为 C A.14yx?? B. 13yx?? C. D. yx??12yx??10. (2013 新课标Ⅰ卷理科 10)已知椭 圆 的右焦点为 ,20Eab??3,0F过点 的直线交椭圆于 两点。若 的中点坐标为 ,则 的方程为 DF,AB1,?EA. B. C. D.214536xy??21367xy??2718xy??219xy??11. ( 2013 新课标Ⅰ卷文科 21)本小题满分 12 分已知圆 ,圆 ,动圆 与圆 外切并且与圆21Mxy??219Nxy???PM内切,圆心 的轨迹为曲线 。NPC(Ⅰ)求 的方程;C(Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线 交于 , 两点,当圆 的半径lPMlCABP最长是,求 。|AB11.解由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径1r?.23r?设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.(I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以.12124NRrr?????有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 的椭圆3(左定点除外),其方程为 。21243xyx????(II) 对于曲线 C 上任意一点 ,由于 ,所以 R 2,当,Py2MPN???且仅当圆 P 的圆心为( 2,0)时,R2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为;24xy???若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 .23AB?若 l 的倾斜角不为 90°,则 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,1rR?则 ,可求得 Q(-4,0) ,所以可设 lykx4.由 l 于圆 M 相切得 ,1PRMr? 231k??解得 k± 。24当 k 时,将 y x 代入 ,并整理得 ,22143xy??2780 x???解得 .21,2 1468.k7xAB????所 以当 k .7时 , 有 图 形 的 对 称 性 可 知综上, .23AB或 187?12. (2013 新课标Ⅰ卷理科 20) 本小题满分 12 分已知圆 M 21xy??,圆 N219xy???,动圆 P与 M外切并且与圆 N内切,圆心 P的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求 C 的方程;(Ⅱ) l是与圆 ,圆 都相切的一条直线, l与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P的半径最长时,求|AB|. 12解.由已知得圆 的圆心为 (-1,0),半径 1r1,圆 的圆心为 N1,0,半径 2r3.设 动圆 P的圆心为 ( x, y),半径为R.(Ⅰ)∵圆 与圆 M外切且与圆 N内切,∴|PM||PN| 12Rr?? 12r?4,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3的椭圆左顶点除外,其方程为21243xyx????.(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P( , y),由于|PM|-|PN| 2R?≤2,∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R2.∴当圆P的半径最长时,其方程为 24x??,[来源学(Ⅱ)若 P 点到直线 yx 的距离为 ,求圆 P 的方程.17. (2013 新课标卷Ⅱ 理科 20) 本小题满分 12 分平面直角坐标系 xOy中,过椭圆210xyMab???的右焦点 F作直 30 xy???交 M于 ,AB两点, P为 A的中点,且 OP的斜率为 .(Ⅰ)求 的方程;(Ⅱ) ,CD为 上的两点,若四边形 ABCD的对角 线 AB?,求四边形 CD面积的最大值.18( 2014 新课标卷Ⅰ文科 4)已知双曲线 的离心率为 2,则 ( D 0132???ayx ?a)A. 2 B. C. D. 12625【答案】D【解析】由双曲线的离心率可得 ,解得 ,选 D.23a??1a19.( 2014 新课标卷Ⅰ文科 10)已知抛物线 C 的焦点为 , 是 C 上一点,xy2F??yA0,则 ( A )xFA045??A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A【解析】根据抛物线的定义可知 ,解之得 . 选 A.00154Fx??01x?20.( 2014 新课标卷Ⅰ文科 20) (本小题满分 12 分)已知点 ,圆 ,过点 的动直线 与圆 交于 两点,线段2,PC82??yxPlCBA,的中点为 , 为坐标原点.ABMO(I)求 的轨迹方程;(II)当 时,求 的方程及 的面积?lOM?【解析】(I)圆C的方程可化为 ,所以圆心为 C0,4,半径为 4.??22416xy???设Mx,y,则 , ,,由题设知 ,故,4xy???,P?? 0CMP???A,即????220 x?????223xy由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是 6 分??21??Ⅱ由Ⅰ可知M 的轨迹是以点N1,3为圆心, 2 为半径的圆.由于|OP||OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.因为ON 的斜率为3,所以 的斜率为 ,直线 的方程l13?l为 183yx???又 , 到 的距离为 , ,2OMPOl41054105PM?所以 的面积为 . 12 分 ?165
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